A'-\-B^-^-C'-AB-'AC-BC

ou, ce qui revient au même,

[66) p= i^-BY-^^A-CY-^jB-cy ^^.^^.^^.,

Cela posé, admettons que les trois racines de l'équation (25) deviennent égales. Celles de l'équation (65) devront toutes s'évanouir. On aura donc pzzzo, ^ r= G , et par suite

Or, cette dernière formule entraîne évidemment les conditions (<>4)-

Lorsque les quantite's A , B , C , D , E , F vérifient l'équation (20), la surface (i) a une infinité de centres, et l'équation (25) ou (3S) a au moins une racine éwaie à zéro. Si l'on fait coïncider cette racine avec celle que nous avons désignée par oC", la formule (53) deviendra

(68) shr^'' -\- e^* — K ,

et représentera un cylindre dont la génératri^ce sera parallèle à l'axe des .r. Si deux racines de l'équation (25) devenaient égales à zéro, alors, en faisant coïncider ces racines avec la valeur c^ de j qui vérifie l'équation {57), on réduirait ia formule (56) à ia suivante

(<îp) cJll^^K,

de laquelle on tirerait les deux équations

propres à représenter deux plans perpendiculaires à l'axe des ^. Il est inutile de chercher ce qui arriverait si l'équation (25) avait trois racines nulles : car cela ne peut arriver, à moins que les quantités A , B , C, D, E , F ne s'évanouissent simultanément dans l'équation (1), c"est-àdire, à moins que cette équation ne cesse de renfermer les coordonnées X, y. i.

Les formules {56), ((Si), (68) et (6p) étant comprises comme cas -particulier dans l'équation (53), il suit évidemment de ce qui précède que l'équation, en coordonnées rectangulaires, de toute surface du second degré qui a un centre ou une infinité de centres , peut être ramejiée à la forme (53). Ajoutons que les coefficiens représentés par c/?>, Sh , C dans la formule (53), ou, ce qui revient au même, les racijies de l'équation (54) y seront les trois valeurs de

2^2 APPLICATIONS GEOMETRIQUES

correspondantes aux points d'intersection de la surface avec les nouveaux axes des coordonnées. C'est ce que l'on peut aussi démontrer directement : car, si l'on ciierche , par exemple, le point d'intersection de la surface avec l'axe des ^, il faudra poser 11 = 0, (^-=0, et l'on tirera en conséquence des formules (53) et (^3)

P^ zzz r :=: —7- > ou = e/î-.

Il est duilleurs évident que cette dernière équation fournira pour le rayon vecteur r une valeur réelle , si le rapport —j- est une quantité positive, et une valeur imaginaire, si ce rapport devient négatif Dans le premier cas, la valeur réelle de r sera la moitié de la distance comprise entre les deux points où la surface rencontrera l'axe des ^, c'està-dire, en d'autres termes, la moitié d'un axe réel de la surface proposée.

Dans le second cas, l'axe des $, sans cesser d'être un axe de la surface, cessera de la rencontrer.

Soient maintenant û'^ , h^ , c^ les valeurs numériques des trois rap-

ports --J- > -^y ~^' ^" sorte quon ait

a, b, c désignant des quantités positives. Si l'on remplace les lettres ^, >i, (^ par les lettres x,y, i, la formule (53), divisée par K > deviendra

Cette dernière comprend huit autres formules; savoir : i.° l'équation (74) ^ + ^-H^=..

DU CALCUL INFINITESLMAL. 2 5 3

qui représente un hyperboloïde dont les trois axes sont 2(J, ih, zc; 2." (es trois équations

dont chacune représente un hyperboloïde à une nappe [voyei la formule (103) de la i4-' leçon]; 3.° les trois équations

dont chacune représente un hyperboloïde à deux nappes [voyez l'équation ((24) de la 14.' leçon]; 4-° l'équation

qui ne représente rien , attendu qu'on ne peut y satisfaire par des valeurs réelles des coordonnées. Si deux des trois quantités oÂ, S^, C deviennent égales entre elles, les ellipsoïdes ou les hyperboloïdes ci -dessus mentionnés seront de révolution. Si l'on suppose qA :=. Sh -=zi G ^ la formule (73) se réduira évidemment, soit à l'équation

(82) x^H-/-H^^ = rtS qui représente une sphère; soit à l'équation

qui ne représente rien. Enfin, si une ou deux des quantités c^, <^ , G

s'évanouissent, une ou Jeux des quantite's a, b, c deviendront infinies, et la formule (73) cessera de renfermer ies trois coordonnées x ,y, 1. Ainsi , par exemple , en supposant C= o , on aura czzzoo; et la formule (73), réduite à

(84) dz^±.f=r,

renfermera, i." l'équaticn

(85) -^-^--ir-^'.

qui représente un cylindre elliptique dont la génératrice est parallèle à faxe des j; 2.° les deux équations

dont chacune représente un cylindre hyperbolique , ayant encore pour génératrice une droite parallèle à l'aie des 1; 3.° l'équation

qui ne représente rien. Si l'on égalait à zéro deux des quantités Jl , Sh , C, si l'on supposait, par exemple, éhz^zo , G:zz.o, alors on aurait i=:oo, f=:oo; et par suite la formule (73), réduite à

comprendrait l'équation

qui représente deux plans perpendiculaires à l'axe des x , et l'équation

qui ne représente rien.

Le cas où le second membre de la formule (i) s'évanouit , mérite une attention particulière. Dans ce cas, i'équation (53) se réduit à

Si de p!us on désigne par a^, b', c' les valeurs numéi'icjues des rapports