III
—T-i -s-> -r-> en sorte qu on ait
n, h, c désignant trois quantités positivas, et si l'on remplace encore les lettres ^, ti, (^ par les lettres x,y, i, la formule (p2) deviendra
Cette dernière comprend quatre autres formules; savoir : i." l'équation
qui représente l'origine des coordonnées, attendu qu'on ne peut y satisfaire qu'en posant à-la-fois x = o, / = o, 2=0! ^•° les trois équations
dont chacune représente un cône à base elliptique, qui a pour sommet l'origine , et pour axe l'un des axes coordonnés. Si deux des quantités c/l, cJ3, C devenaient égales, l'un des trois cônes pourrait être considéré comme ayant pour base un cercle tracé dans un plan perpendiculaire à l'axe. Si l'on supposait c/^=:cQz=: C , alors, dans chacun des trois cônes, la base serait circulaire , et deux génératrices opposées , comprises
dans un même pian passant par l'axe , seraient perpendiculaires entre elles. Enfin, si un ou deux des coefficiens c , Sh , C se réduisaient à zéro, une ou deux des quantités a, b, c deviendraient infinies, et la formule (94} cesserait de renfermer les trois coordonnées x, y, j. Ainsi, par exemple, en supposant C=zO , on trouverait r = oo; et la formule (p4). réduite à
renfermerait ,
i." l'équation
qui représente l'axe des i , attendu qu'on ne peut y satisfaire qu'en supposant à-la-fois x=:o, / = o ; 2.° l'équation
qui se décompose dans les deux suivantes ,
et représente en conséquence deux plans passant par l'axe des 3. Si l'on supposait en même temps o8r=o et C:z=o, on aurait Zi = 00 , i-mcX); et la formule (^4) » réduite à
(102) A-^ zz: o ,
représenterait le pian même des y , j.
Il est essentiel d'observer que la métliode par laquelle on réduit l'équation (i) à la formule (53), est indépendante de la valeur attribuée à la quantité K , et qu'en conséquence les axes de la surface (1) ne cliangeront pas de direction si l'on fait varier la quantité K sans changer les valeurs des coefficiens A, B, C, D, E, F. Cela posé,
concevons que, k désignant une quantité positive, on prenne successivement
A la place de l'équation (i), on obtiendra les trois suivantes,
Ax^ -+- Bf -+- CiC -t- 'i-J^yz ■+• 2£'2-v -t- 2F.VV k ,
(io4)
Ax'- -+- By'' -+- C"^ -H zDyi ^- a^'^.v -i- ^Fxy — k ,
Ax'' -+- By- -H C^ï -\- 2Dyi -H xEix -H 2.iu7 0 ,
qui représenteront trois surfaces dont les axes seront les mêmes , et qui pourront être converties, par la méthode indiquée, en trois autres équations de la forme
(10^) ^.^^ ^sivi' ~\-ec; = k,
(107) cÂl' -]-c^r^' -\- e^' —-k.
(108) cÂl^ -\- Sir:- -\-C^' = 0.
Or, en raisonnant comme ci-dessus, on s'assurera facilement que l'équation (108) est propre à représenter, i .° un point unique, savoir, l'origine, dans le cas où Jl.Sh, C sont des quantités de même signe et différentes de zéro; 2.° un cône du second degré, dans le cas où cA, c/2, C reçoivent des valeurs différentes de zéro , mais de signes divers ; 3," une droite, savoir, l'un des axes coordonnés, lorsque deux des coefficiens (A,c/2>, C sont des quantités de même signe , le troisième étant nul; 4-° deux plans passant par l'un des axes coordonnés, lorsque deux des coefBciens dont il s'agit sont de signes contraires , le troisième étant nul; 5.° un des plans coordonnés, dans le cas où deux des quantités lA, Sh , (5 s'évanouissent. Déplus, on reconnaîtra sans peine que les équations (106) et (107) représentent, dans le premier cas, un ellipsoïde et une surface imaginaire; dans le second cas, deux hyperbo-
Lticns de M. Cauchy. i ." Année. £• y^
25 s APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
ioïdes (Jont l'un se compose d'une seule nappe , tandis que ('aatre offre deux nappes distinctes; dans le troisième cas, un cylindre elliptique et un cylindre imaginaire; dans le quatrième cas, deux cylindres hyperboliques; enfin dans le cinquième cas, deux plans et une surface iinaginaire. Ajoutons que, dans le second cas et dans le qtiatrièmei leS' trois surfaces représente'es par les équations (lOj), (io4), (105) s'approchent indcnniment l'une de l'autre à mesure que l'on s'éloigne de I origine des coordonnées. Il résulte, en eftet , de la remarque faite dajis la 13.^ leçon [page 202]^ que, si par l'origine on mène un plan quelconque, les droites d'intersection de ce plan avec la surface (10 >) seront les asymptotes des courbes suivant lesquelles il coupera les surfaces (105) et (io4).
Nous avons prouvé qu'il suffisait de transformer les coordonnées rectangulaires x,y, i de l'équation (i) en d'autres coordonnées ^, n, ^ rectangulaires elles-mcmes et relatives à de nouveaux axes convenablement choisis, pour réduire, dans tous les cds possibles, l'équation (1) à la formule (53). i-a transformation de coordonnées dont il est ici question s'opère à l'aide de certaines valeurs particulières attribuées da;is les formules (28) aux angles oCo , /3o , 7. ; ct,,/3,,y,; aL,,/i^,y^i et en vertu desquelles le polynôme
Ax' -hBf -^ Cl -h 2Dyi~\~ lEix -+■ if xy
devient identiquement égal au trinôme
Or , il est clair que la même transformation changera la fonction linéaire et liomogène de x,y, i, représentée par la somme ^
Gx -h H y -h II ,
en une fonction linéaire et homogène des ç, f\ , (^ , c'est-à-dire, en un trinôme de la forme ,
^, 5» û^ désignant de nouvelfes constantes, et que par suite elle rétluira l'équation (15), c'est-à-dire, l'équation générale des surfaces du second degré, à la formule
(lop) c/?^^-}-c$3:i^-t-(:5t'-t-9'^-H5»i-4-^.^ = A'.
De plus, la dernière des équations [^c)) donnera
(i .0) c4Se— 4BC-'AD'-BE---CF'--V-zDEF.
Cela posé , si l'expression (ip) a une valeur différente de zéro , on pourra en dire autant du produit cAShG. Donc alors aucufi des coefîicieiis cA, S6, C ne s'évanouira. Si, dniis la même hypothèse, on prend
' c^ — ^TF "*
le point (.Vo.^o, \. ) sera évidemuient un centre de la surface. Car il suffira de transporter l'origine à ce point,' et de remplacer en coiîséquence ^, ys, Ç par ^-+-.v^, m-/,, • i^-t-^^» pour réduire l'équation (loy) à la formule
(1,2) c/2-^^+c^vi%e/;^ = ,r-(c.'^.v„^ + t%/-HC2,/-H^.v,^-57„H-^2„).
On peut remarquer d'ailleurs que l'équation (112) est semblable pour la forme à l'équation (53).
Concevons maintenant qu'un seul des coefficiens i>f , c^, C s'évanouisse, et que l'or, ait, par exemple, C=zo. Alors, la valeur du rapport ^ devenant infinie, ou indéterminée, la surface (lop) n'aura plus décentre, ou en aura une infinité , suivant que la quantité casera ou ne sera pas égale à zéro. Dans la même hypothèse, si l'on fait
"il suffira de transporter l'origine au point (.v^, y^, i^) pour ramener l'équation (lop) à la forme
2 6o APLPIC AXIONS GÉOMÉTRIQUES
(il4) c/^^^ -H c^n' -h ér(^ = o.
On conclma de cetle-ci que la surface proposée a pour axe l'axe des Z- Soient maintenant a- , Ir les valeurs numériques —^■> -j-> et ic la
valeur du produit '\ ■ , en sorte qu'on ait i ad
et supposons que l'on remplace ies lettres ^, vi, (^ par les lettres x,)', i; la formule (ii4) deviendra
rt^ b- c
et renfermera,
