I .° l'équation

qui représente un paraboloïde elliptique \voyei la formule (55)) de fa i4.Meçon]; %." l'équation

qui représente un paraboloïde hyperbolique \yoyei la formule ((58) de la 14.*^ leçon]. Si l'on avait <Jl-=^S}> , on trouverait par suite a^zh , et l'équation (11 4) o^^' ('17) représenterait un paraboloïde de révolution. Enfin, si l'on supposait cTz^o, on trouverait (f = oû, et l'équation (i 16) coïnciderait avec la formule (99).

Concevons encore que, dans l'équation (lOf)), deux des coefficiens Jl, Sh , G s'évanouissent, et que l'on ait, par ejcemple, 08 = 0, (?=:o. Alors , si l'on suppose toujours la valeur de x^ déterminée par la première des équations (i i i), et si de plus on désigne par y^ et ^„ deiix. valeurs de ri et de (^ propres à vérifier la formule

DU CALCUL INFINITÉSBL\L. 261

il suffira Je transporter l'origine au point (.Vo,/o, Z^) po""^ réduire l'équation (lop) à

Lorsqu'on a ^=0 , et que, dans la formule (120), on remplace les lettres ^, » par les lettres .v, y, cette formule se réduit à

Cette dernière représente évidemment un cylindre qui a pour base une parabole comprise dans le plan des x, y, et pour génératrice une droite parallèle à l'axe des ^. Elle représenterait le plan desj, 1, si l'on avait ^ = 0. Ajoutons que, dans le cas même où cT n'est pas nul, on peut transformer l'équation (120) de manière qu'elle devienne semblable à l'équation (121). Pour y parvenir, il suffit de remplacer la lettre ^ par la lettre .v , et de poser

ce qui revient à prendre pour axe des y une droite perpendiculaire à t'axe des ^, et menée par l'origine de manière à former avec les dem.iaxes des n et des ^ positives deux angles dont les cosinus soient respectivement

En effet, si l'on nomme ê.,, C,, Ç>, les trois angles formés par la droite dont il s'agit avec les demi-axes des ^ , n et (^ , prolongés dans le sens des coordonnées positives, on aura

cosCo = o, cos€, 3=: ■ ,,„/ — r^") cos€, :zz:-- '- ;

et l'équation

y=^^ cos Co -t- r cos € , -J- (^ cos €^

se réduira évidemment à la formule (122), en vertu de laquelle l'cquatioai (120} deviendra

Celle-ci est semblable à l'équation (121), et représente de même un cylindre à base parabolique.

S;, dans les calculs qui précèdent, on échange entre eux les' axes des coordonnées, on obtiendra successivement toutes les formules qui se trouvent comprises comme cas particuliers dans l'équation (105?)

£n résumé , l'on voit que les surfaces courbes qui peuvent être représentées par cette équation, se réduisent à la surface de la sphère , à ceiles de l'ellipsoïde, de l'hyperboloïde à une ou à deux nappes, du paraboloïde de révolution, du paraboloïde elliptique ou hyperbolique, du cône à base circulaire ou elliptique ; enïm du cylindre droit qui a pour base un cercle, une ellipse, uiîe parabole ou une hyperbole. De plus, il arrive quelquefois que l'équation (locj) représente un ou deux plans, uwQ ou deux droites, ou wn poinr unique, ou même qu'elle ne représente rien. Il est bon d'observer que, dans le cas où l'équation (lotj) représente une surface cylindrique , les droites que l'on peut considérer comipe axes de cette surface sont en i.onibre infini. En effet, en vertu des définitions ci -dessus adoptées, on peut appeler axe d'une surface cylindrique à base elliptique ou hyperbolique , non-seulement la droite qil'on nomme ordinairement axe du cylindre, et qui renferme les centres des ellipses ou hyperboles dont les plans sont perpendiculaires aux génératrices, mais encore les axes de ces mêmes courbes, attendu qu'un plan perpendicidaire à l'un de ces axes foupe toujours la surface cylindrique suivant deux génératrices également distantes du point où il rencontre cet axe. De même, si l'on coupe un cylindre p irabolique p;ir des plans perpendiculaires aux génératrices , les axes des diverses

paraboles qui seront les courbes d'intersection , pourront être consiJérc^s comme autant d'axes de ia surface du cylindre dont il s'agit. Dans ke cylindre droit à base circulaire, tous les rayons des cercles compris dans des plans parallèles au plan de la base sont des axes de la surface.

Il ne sera pas inutile de remarquer que les surfaces représentées pai les équations (53) et (109) ont leurs axes parallèles, et que par suite on peut en dire autant des surfaces représentées par les équations { 1 ) et

2.^ Problème. Trouver , s'il y a lieu, le centre de ùi courbe da i^'orid degré représente'e par le système des deux e'ijaations

\ A a' -h By"- H- C-(; -4- iDyi-\- lEix -\- iFxy =z K , ( A' cos A -f- j cos /M. -\- 7 ces V zzz k.

Solution. Soient Xo,yo, ^^ les coordonnées dû centre de la courbe. Si l'on transporte l'origine à ce centre en remplaçant x , y , i yar --^A'o. /~*~/o, 2-^-2o, les formules (124) deviendront

f Àx^-h-By' -h Cz' -}- 'ADyi~^ zEz-r-^iFxy

(125) / -h2.[{Ax^-^Fy„-hEz.)x-^{Fx„-^Byo-^Dzo)y^{Ex,-s-Dyo'+-Czo)z] ' { = K— Mao'-I- 5/o'--+- Qo'-t- îD/o^o -+- ^Ez^Xo -+r 2 FAo/o) ,

(i 16) A'cosA -f-jcos/u- -f-^cosvz^/; — (a'oCOsAH-Jo^os/xH-^^cosv) ;

et le système de ces deux dernières ne devra pas être altéré quand on y remplacera a- par —a-, y par —y, et z par —3. Or, cette condition iera lemplie , si l'on suppose

/o cos fx -f- ^o cos v::=i k , cos fA cos V

Alors, en effet i i'équatîon (120) sera réduite à la formule

Ao COS A

et

AjCo-^Fy,-i-Ei^

(2) A' cos A H- ^ cos //t -h 2 cos V r= o ,

oui n'est pas altérée par le changement de signe des coordonnées x, y, 1, et de laquelle on tire, en la combinant avec la formule (128),

(12^) {Ax^ -^Fy^ -^Ezo)x -^{Fx^-i- By^ '^Di^)y -+- (£.v„ -+- Dy^ -+- C^) 2=1=0.

De plus, si l'on a égard à l'équation (1251), la formule (125) deviendra

j Ax'- -^ By"- + Ci'^ -h 2Dyz~{- ^Eix ~\- xFxy ^'^°^ ( —K—{Ax:-^By,^-^Ci:'-\-zDy^l^-^^Ei,x^-^xFx^y:),

et remplira encore la condition prescrite. Les formules (iiy) et (128) suffisent pour déterminer les coordonnées Xa,yo^ ^o du centre cherché. La première exprime que ce même centre est compris dans le pian représenté par l'équation (126), c'est-à-dire, dans le plan de la courbe donnée. D'autre part , comme, pour obtenir le point où la surface (1) est rencontrée par le rayon vecteur mené de l'origine au centre dont il s'agit, il faut assujettir les coordonnées x ,y,i de la surface (i) à l'équation

et que les formules (128) et (f 3 i) entraînent l'équation (p8) de la leçon précédente , savoir ,

. Ax-^Fy-^Ei Fx-v-By-^Di Ex-\-Dy-Y-Ci^