ABC—D'A—E^B — F^-C-+-2.DEF

Si l'on substitue les valeurs précédentes de .Vo , y^, i^ dans l'équation (127), et si l'on fait, pour abréger,

f P={BC — D')coi^x-i-{CA—E')cQs-fA.^[AB — F')co%y

{ -H 2[EF—AD) cosf/. cosv-i- 2. {FD—BEj cos k cos x -y-z[DE—CF) cos a cos/t,

on trouvera

, .-. ABC — D'A—E'B — F'C-^zDEF , ( I 3 C ) / = A- ,

et par suite on tirera des équations (134)

(BC—D')coiK^[DE—CF)cosix-i-[FD — BE]Qosv ,

Xo p f^ >

/j ^ \ ) ^ (£>£•— CF)co? A -t- [CA—E^') cosu -4- {EF—AD)cosf ,

[FD— BE)coif.^{EF — AD)i:osui-^{AB — F^) cosy ,

Leçons de M. Caucky. i ." Année. £ /

CelJes-ci fourniront un système unique de valeurs finies de Xo , Jo . 3o > lorsque la quantité P ne sera pas nulle. Donc alors la conrbe propose'e aura \\\\ centre unique. Ce centre sera l'origine elle -même, si la quantité k s'cvanouit.

Si la quantité P se réduisait à zéro, les valeurs de .v^ , y^, 2» ^^' viendraient infinies ou indéterminées. Dans le premier cas , la ligne du second degré représentée par le système des équations (124) ne pourrait être qu'une parabole ; dans le second cas , cette ligne se transformerait en un système de deux droites parallèles.

Si l'on transporte l'origine au centre de la courbe (124). les équations de cette courbe deviendront semblables aux formules ( i ) et (2). On conclut de cette remarque que, pour trouver les axes de la courbe (124), il suffit de résoudre le problème suivant.

3.^ Problème. Déterminer les ascs de la courbe du second degré' repre'sentee par les deux équations

(1 ) A X' -h By' -H Cz' -+- 2Dyz-h 2Eix -h iFxy = K ,

(2) X cos A -hjcos ^t- H- 2C0S V :=: o.

Solution, Si l'on transforme les coordonnées x, y, ^, supposées rectangulaires, en d'autres coordonnées rectangulaires ^, r, (^ , et si l'on prend pour axe des (^ la droite perpendiculaire au plan représenté par la formule (2) , les équations de la courbe proposée se changeront en deux autres , de la forme

(138) cy?|'-hc^„'H-e^'H2^vi{;-4-2c?(!;^-f-2e75>irz:A', ^ — Q,

et par conséquent la courbe , étant rapportée à des axes rectangulaires situés dans son plan , aura pour équation

Lorsque l'équation précédente peut être vérifiée par des valeurs léçUe,

DU CALCUL INFINITÉSLMAL. 267

des coordonnées ^, r, elle représente une ellipse, ou une hyperbole," ou le système de deux droites parallèles et situées à égales distances de l'origine , suivant que la différence .

est une quantité positive, ou négative, ou nulle. Ajoutons que l'ellipse se réduit à un point, et l'hyperbole au système de deux droites qui se coupent, toutes les fois que le second membre de l'équation , ou la quantité K , s'évanouit. Cela posé, admettons d'abord que la courbe soit une ellipse. Cette ellipse aura deux axes qui se couperont à angles droits ; et si l'on nomme <7 , b les deux demi -axes, a, b seront les valeurs maximum et minimum du rayon vecteur r mené de l'origine à un point de la courbe. La question se réduira donc à chercher la plus grande et la plus petite valeur de la fonction r déterminée par l'équation

en supposant les variables x,y, 1 liées entre elles par les équations (1) et (2). Or, pour y parvenir, il faudra égaler à zéro la différentielle du rayon vecteur r ou de son carré r^ ; et comme on tire de l'équation (13)

-f- d{f) =. rdr =z xdx H- ydy -\- ldz>

on obtiendra, en opérant comme on vient de le dire, la formule

{^Ao) xdx -\- ydy -\- idiz=z o ,

de laquelle on devra éliminer dx, dy , di, à l'aide des équations différentielles de la courbe donnée, c'est-à-dire , à l'aide des deux formules

(141) {Ax^Fy-^Ei)dx-^{Fx-^By^Dz)dy-\-[Ex-^Dy^Cz)di-=:.o,

(142) cosA^.v -H cos^f/y -H cosv ^2 ^^= °-

Observons maintenant que , pour effectuer l'élimination de dy et di entre les formules (t4o), (i4i), (142), il suffira de les ajouter, après

26 s APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

avoir multiplié deux d'entre elles, par exemple, les formules (14°) ^^ {l4-)> P^if des coefficiens indétermincs ; puis de choisir ces coefficiens de manière que i'cqualion résultante ne renferme plus ni Jy, ni (^z- Alors, le premier membre de cette équation se trouvant réduit à la différentielle Jx multipliée par un facteur, le facteur dont il s'agit devra lui-même s'évanouir. Or, si l'on désigne par — s et par — t les deux coefficiens indéterminés dont il est ici question, l'équation résultante se présentera sous la forme

{A X H— Fy -+- El — SX — t cos a) dx -+- ( Fx -{- By -\- Di — s y — t cos f^.) dy H- (£a- H- Dy H- Cl — SI — / cos \) di^o ;

et si, après avoir choisi les coefficiens s , t àe manière à faire disparaître les diffi;rentielles dy et di, on égale encore à zéro le coefficient de la diffi;rentielle dx , on aura évidemment

i/4 .Y H- Fy -+- Eiz=: SX ~\- t cos A , Fx -i~By-\-Di = sy-i-t cos f^, F X -+- Dy -+- Cl = j 2 -H / cos V.

Si l'on ajoute ces dernières formules , après avoir multiplié' la première par .V, la seconde par y, la troisième par ^, on trouvera, en ayant égard aux équations (i) et (13) ,

K =z sr\ La valeur de s sera donc (M) s z ^

Si l'on adopte cette valeur de s, et si l'on observe d'ailleurs que les équations {li}) peuvent s'écrire comme il suit ,

DU CALCUL LN'FlNITÉSJMAL. 269

{A — s) X -\- F)' -{- E z ■=: t cos À. ,

(144) ( Fx -h {B—s))' -\- Dz=^ tcos/A. , E X -H Dy H- ( C— J ) 2 :=: r cos V ,

on reconnaîtra qu'il suffit de remplacer les quantités A, B, C par les difiérences A~s, B — s, C — s, i," dans les seconds membres des formules (134). ■2.° dans la valeur de P que fournit l'équation (135), pour obtenir, d'une part, les valeurs des coordonnées x, y, 1 correspondantes au maximum et au minimum du rayon vecteur r, et, d'autre part, le coefficient de t dans l'équation (2), ou plutôt dans celle qu'on en déduit par la substitution des valeurs de .v, y, 1. Or, en divisant par t l'équation dont il s'agit, on trouvera

[(5-^)(C:-i)-Z)^]cos^A-f-[(,(:'-j)(/ï-i)-£^]cos>-t-[(^-j)(Z^-j')-F^]cos^v -+-![£' F-(/4-j)Z)]cos^i.cos^-H2[FZ)-(^-j-)£']cosvcosA-H2[Z)£'-(6'-j)/^]cosAcos,a»

ou , ce qui revient au même ,

r [B -\- C) cos' A -^ [C -\- A )los^^ -+- [A -^ B) 1:0s' fj. ) j' — { /S

{ Z D COS/X COSV 2£'C0SVC0SA 2/"cOS A COS/<. j

(140) \ ^z{BC — D')cos'K-i-{CA—E')coi'f^-i-{AB — F')coi'v

H- z[EF-AB) cos^ C05 K -H 2( FD-BE ) cos > cos a h- a ( DE- CF) cos a co5^ = o.

De plus , on tirera des formules (134). après y avoir remplacé .v„, y^ , i^ par x,y. i, et A, B, C par A— s, B~s, C—s,

[ [B-s] { C-i)—D^\ cos A -H [ DE—{C-s) F] cos^ -+- [ FD— ( B-s) £] cos »

[DE—{C-s)F]cQS\-^[{C-s){A-s] — £']cos,u-^[£F—[A-s)D]cof>

[ FD — (Zy-^) £■] cos A -H [EF—[A-s}D]cos/x-^[{A~s) {B-s)— F' ]cosr •

Enfin, si l'on nomme a, /3, y les angles formés par le rayon vecteur

Z-jO APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

maximum ou minimum avec les demi -axes des coordonnées positives, on aura

, ,„, cos a cos/3 cos>

et par suite

cos a.

[[B-s] [C-s) — £)= ] cos A -4- [DE—[C-s)F] cos^ ^[FD — {B-s)E\ cos ^ I / \ I c°^ ^ ^

cos 7

[ED—[B-s) E] cos A -H- [ EF— [A-s] D] cos/* -h [[As] [B-s) —F^] cos y

Lorsque la courbe proposée est une ellipse, ainsi que nous l'avons d'abord admis, l'équation (i4^) fournit nécessairement deux valeurs réelles de

correspondantes à la valeur maximum et à la valeur minimum du rayon vecteur r. Alors , si l'on désigne par a et b les demi-axes de l'ellipse , les deux racines de l'équation {ii6) seront

et l'on aura en conséquence

/{(!. + -!-)— (£?-hC)cos=a-h(C-h/1)co5> -+- [A-^B)coi^y — z D cos fx. cos y — z E cos y cos a — 2. F cos A cos jJ. ,

= [BC-D'] cos= A -+-{CA-E' ) cos^At -+- [AB—F'- ) cos= y. a' è-

-+- z{EF-AB) cos/t cosK + z[FD-BE) cos i- cos a + 2(D£-CFycos a cos^ .

Déplus, à chacune des deux valeurs de i- , ou , ce qui revient au même, à chacun des axes de l'ellipse, correspondront des valeurs réelles de a,, /3, 7, déterminées par la formule (i4p) réunie à l'équation

(151) cos'a H- cos'/3 -i- cos'y =r: I r

DU CALCUL INFINITÉSLMAL. 27 I

et ces valeurs représenteront les angles formés par Tun des axes de l'ellipse, prolongé dans un sens ou dans un autre, avec les demi -axes des coordonnées positives.

L'ellipse que nous venons de considérer, se transformera en un système de deux droites parallèles, si l'une des quantités a, h devient infinie. Alors celle des deux quantités qui conservera une valeur finie, représentera la moitié de la distance entre les deux parallèles ; et les angles et, /3, 7, déterniinés par les équations (149) » seront précisément ceux que formeront les deux parallèles et la distance dont il s'agit avec les demi-axes des coordonnées positives.

Si les quantités a , b devenaient égales , l'ellipse se changerait en un cercle, et les valeurs des angles ce, /3, y deviendraient indéterminées.

Concevons maintenant que la courbe proposée devienne une hyperbole. Alors le rayon vecteur r admettra une valeur minimum qui sera la moitié de l'axe réel de l'hyperbole; et si l'on nomme za cet axe, l'équation (i46) aiu'a nécessairement une racine réelle, savoir,

Donc par suite les deux racines de l'équation {"i 46) seront réelles. De plus, à chacune de ces racines correspondront des valeurs réelles de a., /S, y, déterminées par le système des formules [lip), (151)' ^^ propres à représenter les angles que fait une certaine droite prolongée dans im sens ou dans un autre avec les demi -axes des coordonnées positives. D'autre part, on peut affirmer, i ." que les deux valeurs de s et les directions des droites correspondantes à ces valeurs seront indépendantes de la quantité K , qui ne se trouve comprise ni dans l'équation [146), ni dans la formule (149); 2.° que l'une des deux droites coïncidera toujours avec l'axe réel de l'hyperbole proposée. Enfin il suit de fa remarque faite dans la 13.'^ leçon [page 202] que, si l'on fait varier K dans les équations (i) et [i], les diverses hyperboles représentées par ces équations auront toutes les mêmes asymptotes, et par conséquent les

mêmes axes. Seulement , lorsque la quantité K changera de signe , le

rapport — ^ en changera pareillement, en sorte que l'axe réel ^a ne

p.Turra plus correspondre à la même racine de l'équation (i4<5)> "' conserver la même direction. Il résulte de ces observations que l'équation (14^) a pour racines , dans l'hypothèse admise , deux quantités de signes contraires, dont l'une fait connaître les axes réels des hyperboles correspondantes à des valeurs positives de la quantité K , et l'autre ceux des hyperboles correspondantes à des valeurs négatives de la même quantité. On doit ajouter que ces deux espèces d'axes réels coïncident avec les deux droites qui divisent en parties égales les angles formés par les asymptotes communes à toutes les hyperboles dont il s'agit, et que ces deux droites , perpendiculaires entre elles , sont précisément celles que l'on détermine à l'aide des formules (145:') ^t (i 5 ')•

Lorsque la quantité K s'évanouit, les équations (i) ^^ (2) représentent les asymptotes communes aux diverses hyperboles, et les angles ce, /3, y, déterminés par les formules (14^) ^^(ijO» répondent toujours aux deux droites que nous venons d'indiquer.

La recherche des axes de la courbe représentée par les équations (i) et (2) deviendrait beaucoup plus facile , si l'on substituait à ces mêmes équations la formule (135?). Alors, en effet, on devrait remplacer, dans la formule (14*^) . les quantités A, B , F par cÂ, Sh , cF, le cosinus de l'angle v par l'unité, et les quantités C, S) , £, cos A , cosyu. par zéro. On trouverait de cette manière

(152) ' s'-~{c/L-^Si)s-\- cÂSi — ^'^ =1 o.

Cette dernière équation, qui s'accorde avec la formule (i 5) de la 11.* leçon de calcul différentiel, a évidemment deux racines réelles, savoir,

DU CALCUL INFINITÉSL^L\L. 273

et ces deux racines sont des quantités de même signe ou de signes contraires, suivant que la différence oÂSl — c/^* est positive ou négative. Dans le premier cas, on tire des formules (150)

(154) r(-^H-^)=:c^.-+-c^, ^ = JLS^-3^\

Nous ferons remarquer, en terminant cette leçon, que les formules (39), (150), (154) indiquent certaines propriétés des courbes ou des surfaces du second degré. Ainsi, par exemple, si l'on considère une ellipse représentée par l'équation (139), et si l'on nomme r^ , r, les rayons vecteurs menés du centre de l'ellipse aux points où elle rencontre les axes des x et des y , on aura

et par suite la première des équations (154) donnera / \ I I I I

Cette dernière formule comprend un théorème que l'on peut énoncer comme il suit :

i.^'' Théorème. Si dans une ellipse on mène arbitrairement du centre à la circonférence deux rayons vecteurs qui se coupent à angles droits , et si l'on divise successivement l'unité par le carré de chacun de ces rayons vecteurs , la somme des quctiens sera une quantité constante égale â la somme qu'on obtiendrait en faisant coïncider les deux rayons vecteurs avec les deux demiaxes de l'ellipse.

Lorsque l'équation (139) représente une hyperbole, on obtient, en changeant seulement le signe de la quantité K , une seconde hyperbole qui a le même centre, les mêmes asymptotes et les mêmes axes, avec cette différence, que l'axe réel de la première est perpendiculaire à l'axe réel de la seconde. Nous dirons que ces deux hyperboles sont conjuguées l'une à l'autre. Cela posé, en substituant à l'ellipse un système de deux

Leçons de M. Caïahy. i ."= .^nnée. MM

hyperboies conjuguées, on reconnaîtra facilement que le théorème i." devra être remplacé par la proposition suivante :

2.^ Théorème. Si, après avoir tracé deux hyperboles conjuguées l'une à l'autre, on mène arbitrairement du centre commun de ces deux hyperboles , soit à l'une d'elles, soit à l'une et à l'autre , deux rayons vecteurs qui se coupent à angles droits , et si l'on divise successivement l'unité par le carré de chacun de ces rayons vecteurs , la somme des quotiens sera une quantité constante , Dourvu que dans cette somme on prenne toujours avec le signe -+~ le quotient relatif à l'une des hyperboles , et avec le signe — le quotient relatif à l'autre. Par conséquent la somme dont il s'agit sera toujours égale à la différence entre les quotiens qu'on obtiendrait si l'on divisait successivement l'unité par le carré de l'axe réel de la première hyperbole et par le carré de l'axe réel de In seconde.

Revenons maintenant à la surface courbe représentée par l'équation

(i), et concevons que l'on désigne par r^, r, , r, les racines carrées des

valeurs numcriques des rapports — t-j ~^ ' "7^ ' ^" sorte qu on ait

On tirera de ces dernières équations, réunies aux formules (72) et à la première des équations (jc)) ,

^ ' ' J'o^ r,= Tz'- a'- /'^ c-

Si la surface (i) est celle d'un ellipsoïde, on aiua simplement

Dans le même cas, r„, r, , r, représenteront trois rayons vecteurs qi;i se couperont à angles droits, et l'on pourra en conséquence énoncer la proposition suivante :

3.^ Théorème. Si du centre d'un ellipsoide on mène arbitrairement à la

DU CALCUL LNFINITÉSIMAL. 275

surface trois rayons vecteurs <juî se coupent à angles droits , et si l'on divise successivement l'unité' par chacun de ces rayons vecteurs , la somme des carrés des quotiens sera une quantité constante , égale a la somme qu'on obtiendrait en faisant coïncider les trois rayons vecteurs avec les moitiés des trois axes de l'ellipso'ide.

Lorsque l'cquation (i) représente un hyperboloïde , on oblient, en changeant seulement le signe de la quantité K , un second hyperboloïde qui a le même centre et les mêmes axes, avec cette différence, que l'un des deux hyperboloïdes présente deux nappes distinctes , l'autre ime seule nappe, et que les deux axes réels du premier sont perpendiculaires à l'axe réel du second. Nous dirons que ces deux hyperboloïdes sont conjugués l'un à l'autre. Cela posé, en examinant avec un peu d'attention les diverses combinaisons de signes que peut offrir l'équation (55), on établira sans peine le théorème suivant:

4.^ Théorème. Si, après avoir tracé deux liyperholoides conjugués l'un à l'autre , on mène arbitrairement du centre commun de ces deux hyperboloïdes, soit à l'un d'eux , soit à l'un et à l'autre, trois rayons vecteurs qui se coupent à angles droits , et si l'on divise successivement l'unité par le carré de chacun de ces rayons vecteurs , la somme des quotiens sera une quantité constante , pourvu que dans cette somme on prenne avec le signe -+- tout quotient relatif à un rayon de l' hyperboloïde à une nappe , et avec le signe — tout quotient relatif a un rayon de l'autre hyperboloïde. Par conséquent la somme dont il s'agît sera toujours égale à la différence qu'on obtiendrait si , après avoir divisé l'unité par les moitiés des axes réels des deux hyperboloïdes , on retranchait le quotient relatif à l'axe réel du second de la somme des quotiens relatifs aux deux axes réels du premier.

Mm *