DIX-HUITIEME LEÇON

Détermïnai'ion analytique du Centre de courbure d'une Courbe quelconque. Sur les Développées d'une Courbe quelconque , et sur la Surface qui est le lieu géométrique de ces Développées. Sur les Courbes qui sont osculatrices l'une de l'autre en tin point donné.

Soit p le rayon de courbure d'une courbe quelconque , correspondant au point [^ ,y , z) '> soient |, »), ^ les coordonnées de l'extrémité de ce rayon, appelée centre Ae courbure , et A , /a , v les angles formés avec \es demi-axes des coordonnées positives par la droite menée du point {x,y, 1) au point (^, r, C,)- On aura

(i) ■ ~--r:r cos A , " ~-^ =: cos ix , ■= ces V.

De plus, en vertu de ce qui a été dit [page 299], les angles A , /^ , v seront déterminés par la formule (35) [ i(5.' leçon], dans laquelle l'arc s représente la variable indépendante. Or, si l'on a égard à l'équation (28) de la 17.* leçon , on reconnaîtra que cetie formule peut s'écrire comme il suit :

, > COS A COS h!, COS V f>

d' X d'y d'i ds^

et l'on en tirera

(3) cosA— /-jj^, cos^rz:/-^^» cosv/^-7-'

On pourrait encore établir directement ces dernières formules par la méthode qui nous a conduits aux équations (16) de la 7.^ leçon. Cela posé, on aura, en prenant s pour variable indépendante.

5o8 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

[A\ ^ — ^ "—jy C — i -p'

^^^ d^x — d^-y — d'i — ds^ '

et par suite

(5) ^-:^-=f'-j^> ^-y=f -jjr^ ^-Z=r-7T-

Si l'on cessait de prendre s pour variable indépendante , on devrait remplacer

ds' ' ds^ ' ds"-

par

4i), 'Jâà, &:

et l'on trouverait en conséquence

, ''m '{^) -^fê)

puis, en remettant pour/^ sa valeur tirée de la formule (27) [17.' leçon],

y dsd^x — dxd's i ,

^ ~ '^ {dyd'l—did'yY^[did'x—dxd\Y-^[dxdy — dyd'x)'' '

(8) / ,i v = dsd'y-dyd--s ^

^ ' ^ ^ [dyd'z-didyy-i-{did'x—dxd'iy-i-(dxdy—d yd'xy

y ds d\ — d-^d' s , j

^ ^ (dyd'i~didyy-+. [did'x — dxd\Y -^ '^dxd'y-dyd'xY '

ou , ce qui revient au même ,

( ?-.vr= 4)^ jdyd'x-dxd'yy -^di [did--x-dxd'i) ,j Jv^-i-Jr^)

\ '' (dyd'i-didyy-i-[d-d'x-dxd'i)'-^{dxdy-dyd'xY ^ -^ ^ ''

(P) ( >,- V— __dlWld-y-dyd'lY-^dx[dxd^y-dyd^x) /^^.^A^Wz^)

J -^ [dyd'i-didyYMdld'x—dxd'iYMdxdy-dyd'xY ^

l r 7— dx[dxd'i-did^x)-^.dy{dyd\-didy) ,j, j, J,^

V ^ ^ {dyd'i-didy}'-i-[did'x—dxd'iY-^{d''dy~dyd'xY^-^ ^ ''

Dans le cas particulier où l'on prend x pour variable indcpendante , les formules (7) et (9) se réduisent à

r-7— y^yr-y^^^^t' p--—. y^y'z-y"i)-^t' (.'.'..

On peut employer indifféremment les formules (7), (8), (p) ou (10), pour déterminer les coordonnées ^, v, ^ du centre de courbure. Ajoutons que ces coordonnées vérifieront en général le système des trois équations

(11) I {^-.x)Jx-+-{v-y)Jy-i-{^~Z)^Z = o,

dont les deux premières seront évidemment satisfaites pour tous les points (^, y\, "Ç) situés dans le plan normal et à la distance f du point [^ ' y ' z)- QiJ^n: à la dernière des formules (11), on peut l'établir, soit en ajoutant les formules (8) respectivement multipliées par d^ x , d^y, d'-z, soit en ajoutant les équations (1), après les avoir multipliées membre à membre par les équations [6] , et simplifiant l'équation résultante à l'aide de la formule

{l-x)dx^{i,-y)dy-\-{^-Z)dzr=o.

Il est essentiel d'observer que l'on retrouve la seconde et la troisième des formules (11), lorsqu'on différencie la première et la seconde , en opérant comme si les trois inconnues ^,11,^ étaient des quantités constantes.

Quand le point (.v, ;;, z) vient à se déplacer sur la courbe donnée, le centre de courbure se déplace en même temps. Si le premier point se meut d'un mouvement continu sur la courbe dont il s'agit, le second

décrira une nouvelle courbe. Or, pour obtenir les équations de cette dernière, il suffira évidemment d'exprimer en fonction d'une seule variable X, ou y, ou s, &.C, . . . les seconds membres des formules (7) , puis d'éliminer cette variable entre les trois formules. Les deux équatioiis résultantes de l'élimination ne renfermeront plus que les trois variables ^, ti, ^, et représenteront précisément la ligne qui sera le lieu géométrique de tous les centres de courbure de la courbe donnée. Pour établir les principales propriétés de cette ligne , on différenciera les deux premières des formules (11). en faisant varier toutes les quantités qu'elles renferment. En opérant ainsi, on trouvera

(12) [x-^)di'^{y-r^)d-^-\-{i~(::^)d^ — fdf,

(13) dx d^-^ dydvi-h didl!i^-=zo.

Il suit de l'équation (13) que la tangente menée à la nouvelle courbe par le point (^, n, ^) forme un angle droit avec la tangente menée à la courbe donnée par le point [x , y , i). Donc la tangente à la nouvelle courbe est comprise dans le plan normal à la courbe proposée. De plus , si l'on nomme ^ l'arc de la nouvelle courbe compris entre un point fixe et le point mobile (^, t, ^), on aura

(i4) dî,^'\~dT''^dC^'=:d<i\

et l'on tirera de l'équation (12)

(,5) 4L==:Jlz±4L^Zz:JL^^^=ii.^.

^ ■" d( ^ d( ^ d( / dç

Or, il résulte évidemment de cette dernière formule que le rapport

est équivalent au cosinus de l'angle aigu ou obtus formé par le rayon de courbure / avec la tangiînte à la nouvelle courbe. Quand la proposée est plane, cette tangente se confond avec le rayon de courbure, ou

avec son prolongement, et par conséquent le rapport -r — se réduit au

cosinus d'un angle nul, ou au cosinus de l'angle ztt, c'est-à-dire, à :i: I. On a donc alors

et l'on en conclut, comme on l'a fait dans la 7.' leçon, que lare dzA^ est la différence des rayons de courbure correspondans à ses deux extrémités. Mais il n'en est plus de même quand la courbe donnée cesse

d'être plane , et dans ce cas le rapport -^ — obtient généralement une

valeur numérique différente de l'unité.

Concevons maintenant qu'un fil inextensible d'une longueur connue soit fixé par une de ses extrémités en un certain point de la courbe proposée , et que ce fil , d'abord appliqué sur la tangente .menée à la courbe parle point dont il s'agit, vienne à ce mouvoir, en demeurant toujours tendu , de telle sorte qu'une partie s'enroule sur l'arc renfermé entre le point fixe et le point variable {x , y , z). L'autre partie, qui restera droite et touchera la courbe donnée au point {x,yj i) , sera terminée par un point mobile, qui décrira une nouvelle courbe. Cela posé, on se trouvera naturellement conduit à dés.'gner ces deux courbes à l'aide des dénominations déjà employées dans la 7.* leçon , page 107. Nous dirons en conséquence que la seconde courbe est une développc2tite de la première , et qùs la première est. une développée de la seconde. Leurs propriétés respectives peuvent être facilement établies par la méthode que nous allons indiquer.

Soient ^, n , ^ les coordonnées du point de la développante qui correspond au point {x , y , 1) de la développée, et t la distance entre ces deux points. On aura évidemment

II — y dy

r ds^

la formule (17) devant être adoptée, lorsque la longueur z sera comptée, à partir du point {x , y, 1) de la développée, sur la tangente prolongée dans le même sens que l'arc s , et la formule (18) dans le cas contraire. De plus, on aura, dans la première hypothèse,

(ip) z-^ s^^^c , (20) dtziz. — ds ;

et dans la seconde ,

(21) ' -' — sz=zc, (22) dz-=zds:

c désignant une quantité constante. Par suite , on tirera de la formule (17) ou (18)

\~ J ' , d X d y d ■^ dz

ou, ce qui revient au même,

y dx dy y, d?

(24) ^--v^-^-TT' ^--^^-^-TT ' ^-^"^-'dz-' Si l'on différencie ces dernières équations , on trouvera

et, comme on aura' d'ailleurs

{i6) dz'^ds'z=dx'~\-d/-i-dz' ,

on conclura des équations (25) respectivement multipliées par dx, dy, di,

(27) dx d^-\- dy dn -\^ did^=z o.

Il résulte de cette dernière formule que les tangentes menées par les points (^, VI, (^) et {x ,y, i) à la développante et à la développée se coupent à angles droits. Donc la tangente à la développée est toujours normale à la développante. Cette proposition , que nous avions déjà établie

pour les courbes planes , s'étend , comme on le voit , aux courbes à double courbure.

Lorsque la de'veloppée est connue, comme nous l'avons supposé dans ce qui précède , il suffit , pour obtenir les équations de la développante, de substituer dans les formules (24) les valeurs de s , y , 1 exprimées en fonction de s , de remplacer en outre t par c rp s , puis d'éliminer s entre ces mêmes formules. En effet, on parviendra de cette manière à deux équations entre ^, n et ^ qui représenteront évidemment la courbe décrite par l'extrémité de la longueur z.

Supposons à présent que l'on cherche, non plus une développante, mais une développée de la courbe à laquelle appartiennent les coordonnées variables x,y, 1. Si l'on appelle ^, «, (^ les coordonnées du point de cette développée qui correspond au point {^ , y , 2) de la développante , et si l'on désigne toujours par t la distance entre ces deux points , on devra, dans la formule (23), remplacer x,y, 1 par ^, n, t, et réciproquement. On aura donc

foQ^ ^~^ ZZl ^ — ^ ^__

^-°^ dl ^., ~- </C dz '

et par conséquent

On aura de plus

Si l'on différencie trois fois de suite l'équation (30), en prenant l'arc .$• pour variable indépendante, et ayant égard aux formules (2^), on trouvera

( [l-x)dx ->r-{y^-y)dy ^[l^-i)di — 0 ,

\ {^-x)d'x-+-{^~y)d'y-h{^-z)^'Z = ^^^> et

(32) {^-x)d{zd'-x) ^ {r.-y)d{zd^y) -h (C-Z)^(^^*S) = o •'

Levons de Ai. Cauchy. i ." Année. R T

puis on en conclura

dj>d[td':(j — did{zdy) did{zd'x) — dxd[zd'i) dxd[tdy)—dyd{zd'x)

ds^ ^^^

d-x\dyd{idx)-did{zdy)\-+-d'y[did[ld'x)-dxd{zd\)\-^d\[dxd{zd'-y)-dyd[zd-x)\

V \ [dyd{zd'i)—did (2^»] V [did {zd'x)-dxd{zd'i)Y-h [dxd (zdy)— dyd[ td'x^' \ -±^ . '- -.

/ [ds' \{d{^d'x)Y-v [d[zdy]Y^ [d [zd'i)Y \ — i dxd[zd'x)--^dyd[tdy)-i- did{zd\)\ ']

On tirera de cette dernière formule , en renversant deux des fractions qu'elle renferme, et élevant chacune d'elles au carré,

ds^ \{d{zd' x)Y^[d[zdy)Y-^[d{zd'-:;)Y] \dxd[zd'x)^dyd[tdy)-^did[zdX)\''

ou , ce qui revient au même ,

. "*" L ds-- ds'' ~^ ds' ds' ~^ ds'- dsi J ds

l\ds^ ) ~^\ dsJ } ~^\ds>) \ds dsi~^ ds dsi'^ds ds^J y ( dxdyd^l — dxd'idy-^dyd'id^x — dyd'x d^i-\- did'xdy —d^dyd'x y

Si, dans l'équation (33), on substitue pour x,y, z leurs valeurs exprimées en fonctions de s, elle ne renfermera plus que la variable s et l'inconnue t avec le coefficient différentiel —, — ? et sera ce qu'on nomme

une équation differetitiellc du premier ordre entre z et s. Or, il résulte des principes du calcul intégral qu'on peut satisfaire à cette équation difFé-

rentielle en prenant pour t une infinité de fonctions de s correspondantes aux diverses valeurs que peut recevoir une certaine constante arbitraire. Si , après avoir détermine l'une de ces fonctions , on remplace dans les formules (30) et (3 i) les variables x, y, i, t par la seule variable s, il ne restera plus qu'à éliminer s entre ces formules, pour obtenir entre les coordonnées ^, r, ^ deux équations propres à représenter une développée de la courbe que l'on considère. Cela posé, il est clair que cette courbe aura une infinité de développées qui correspondront aux diverses valeurs de z, ou, ce qui revient au même, aux diverses valeurs de la constante arbitraire. Ajoutons que toutes ces développées seront situées sur la surface à laquelle appartiendra l'équation en ^, »i et (!^ produite par l'élimination de s entre les formules (3 i).

La surface dont nous venons de parler , ou le lieu géométrique de toutes les développées , jouit de plusieurs propriétés remarquables que l'on déduit facilement des équations (3 i), ou, ce qui revient au même, des suivantes :

D'abord, il est clair que, si l'on attribue à l'arc s et aux quantités qui en dépendent, c'est-à-dire, à

, , dx dy di . d^x d'y d- i

(33) •^'' J' Z! -JT' -JT' -ds^' Ts^' ~dV" 'd's'-'

des valeurs déterminées, les équations (34), dans lesquelles ^, r, (^ resteront seules variables, représenteront deux plans dont la commune intersection sera une droite comprise dans la surface dont il s'agit. Donc cette surface renfermera une infinité de droites correspondantes aux diverses valeurs de j , et sera du nombre de celles que l'on nomme surfaces réglées. On peut observer d'ailleurs que la première des équations (31) ou (34) est précisément celle du plan normal mené parle

3 1 6 APPLICATIONS GEOMETRIQUES

point {x,)', z) ^ ^^ courbe donnée. Q.uant à la seconde des équations {^4)> on peut, en vertu des formules (3), la réduire à

{3'^) (^— A-)cos A H- {■»— y) cos fA. ~i- ((^— ^)cosv = f,

et l'on ]-econnaît alors immédiatement, i.° qu'elle est vérifiée par les valeurs de ^, v, C, tirées des formules (i), c'est-à-dire, par les coordonnées du centre de courbure ; 2..° qu'elle représente le plan mené par ce même centre perpendiculairement au rayon de courbure dont la direction forme avec les demi-axes des coordonnées positives les angles A, fA,, f. Enfin, si l'on pose, pour abréger,

(37) x = (pis), 7 = xW. z^iW.

les équations {^4) deviendront respectivement

et l'équation (38), qui représente un plan, quand on attribue à s une valeur constante, deviendra évidemment propre à représenter la surface ci-dessus mentionnée, si l'on convient de regarder la quantité s comme une fonction de ^, vi, ^ déterminée par l'équation (39). Cette convention étant admise, il sera facile d'obtenir l'équation diiférentielle de la même surface. En effet, il suffira, pour y parvenir, de différencier la formule (3 8) , en y faisant varier à-la-fois les quantités ^, îi, L^gX s. Or , en opérant ainsi, et ayant égard à l'équation (35)), dont le premier membre sera précisément le coefficient de ds, on retrouvera pour l'équation différentielle cherchée

(40) <p' {s)di^ -x; [s) dT -h 4' (.) c/^; = o.

Il résulte de celle-ci \\'oyei la \ 4.^ leçon] que les demi-axes des coordonnées positives forment, avec la normale menée par le point (^, r, ^) à la surface réglée, des angles dont les cosinus sont proportionnels, et

DU CALCUL INFINITÉSLMAL. 3 1 7

même égaux, si l'on prolonge la normale dans un sens convenable, aux

cnvees

Donc cette normale et ia tangente menée par le point (v,^, 1) à la courbe donnée sont deux droites parallèles. Donc, puisque le plan tangent mené par le point (^, r, ^) à la surface réglée doit renfeiTner la génératrice de cette surface , et par conséquent le centre de courbure de la courbe proposée , il coïncidera nécessairement avec le plan mené par ce centre perpendiculairement aux deux droites, c'est-à-dire, avec le plan normal à la courbe. Il suit de ces observations que chaque plan normal à la courbe touchera la surface réglée dans tous les points de la génératrice par laquelle il passera. Donc la surface dont il s'agit, c'està-dire, le lieu de toutes les développées de la courbe, sera une surface développable.

Il est essentiel de remarquer que l'équation (4o) coïncide avec l'équation (2-) , de laquelle on la déduit, en substituant aux différentielles Jx, dy , âi leurs valeurs tirées des formules (37), savoir,

<p\s]ds, X{s]d5 , Ws)ds.

et supprimant ensuite le facteur ds commun à tous les termes.

Nous observerons en outre que , dans le cas où la variable s cesse d'être indépendante , il suffit , pour obtenir la seconde des équations (ji), de différencier la première, puis d'avoir égard à celle-ci et aux formules (29). On peut en conclure que l'équation, en ^, r et (^, produite par l'élimination de s entre les formules (3 i) , représentera, dans tous les cas possibles, la surface qui sera le lieu géométrique des développées de la courbe donnée. Enfin, comme les formules (31) se confondent avec les deux premières des- formules (11), on pourra encore affirmer que cette surface passe par la nouvelle courbe qui est le lieu géométrique des centres de courbure de la proposée.

II serait facile de prouver directement, et sans recourir au calcul ; que la surface développable qui touche constamment le plan normal à une courbe quelconque, est en même temps le lieu des développées de cette courbe. C'est, en effet, ce que l'on peut démontrer à l'aide des considérations suivantes.

Si l'on fait rouler sur une surface développable le plan tangent à cette surface, avec plusieurs droites menées par un point pris à volonté dans ce plan, chaque droite tracera évidemment sur la surface une développée de cette courbe. Donc la surface développable sera le lieu de toutes les développées; et le plan tangent, qui passera par les tangentes aux développées, ou, en d'autres termes, par plusieurs droites normales à la courbe décrite [voyez la page 3 i 2] , se confondra nécessairement avec le plan normal à cette courbe. Si maintenant on veut que la courbe décrite se réduise à une courbe donnée, il suffira de faire coïncider la surface développable avec celle qui est constamment touchée par le plan normal à la courbe proposée , et de choisir convenablement le point mobile. S'il restait quelques doutes à cet égard, on les éclaircirait à l'aide des principes que nous établirons dans les leçons de la seconde année.

Pour montrer une application des formules qui précèdent, considérons l'hélice représentée par les équations (38) de la 13.' leçon, savoir,

(4i) x=Rcosp, y = Rsinp, z=zûRp.

Si l'on prend pour variable indépendante l'arc s, ou, ce qui revient aa même, l'angle />, on aura

r dx-=z — Rsinpdp , dy z=i Rcospdp , dz=: nRdp ,

(42)) d\xz=~Rcospdp\ d'y=—Rs'mpdp\ d''Z=:o ,

( dKx =: R s'in p d p\ d^yz=— Rcospdp^ , d^i=:o.

On trouvera de plus [voyez '^ '7-' leçon] {4)) ds—zt.{i-^-^'yRdp.

Cela posé , les formules (5) donneront

(45) ^=^ — a^ Rcosp , ni=:—a-Rsïnp, t!i,^=.aRp.

Si l'on élimine p entre ces dernières , on obtiendra entre les coordonnées ^, r, ^ deux équations propres à représenter la ligne des centres de courbure. Or, comme on tire des formules (45)

(46) -^=tang-^, f-hr^ = ^^/?^

il est clair que cette ligne sera une seconde hélice, comprise, ainsi que la première , dans la surface hélicoïde qui a pour équation

m ■ -f^tang^,

et tracée sur un cylindre droit qui a pour base, dans le plan des x, y, un cercle décrit de l'origine comme centre avec un rayon égal au produit a' R. Nous pouvions aisément prévoir ce résultat, puisque nous savons que, pour obtenir le centre de courbure correspondant à un point [x , y , z) ^^ l'hélice donnée, il suffit \voyci la ly.' leçon] de porter sur la génératrice de la surface hélicoïde, à partir du point (v, ^, 2)» la longueur f=z[i-i-û^)R, et par conséquent, à partir de l'axe du cylindre, la longueur f — Rr^a'-R.

Quant aux formules (30), (31) et (32), elles se réduiront, dans le cas présent, la première à

(48) ^'—n' — 2.R{^cosp-\-TSinp)-hR'-h{^-aRpY = f\

les deux suivantes à

( ^sinp — rcosp — a{^ — aRp),

^^^^ ç ^ • — xz?

( Ç cosp -;i- tismp ■=.-' a^ R ,

et la dernière à

(50) (^cos/jH-r sin/7— R)dz~\- [mcosp — ^s\wp)tdp r= o.

De plus, l'équation {■^^) donnera

\')^l dp' ~^ i-t-a- ^ (i-+-a^)' /î' '

et l'on en conclura

^ «: i at^ r I I T »

ou, ce qui revient au même,

(53) -TÏÏT^^^-

Il est facile de s'assurer que les coordonne'es du centre de courbure ," c'est-à-dire, les valeurs de ^, n, ^ fournies par les équations (45) , vérifient les formules [^C)). Si d'ailleurs on ajoute ces formules , après avoir élevé au carré les deux membres de chacune d'elles , on trouvera

(54) l'-^r.'—a'^R'-'^a^i^ — aRpY,

et par conséquent

(55) p^-VR--^\ri^^ — M '

puis, en substituant la valeur précédente de p dans ia seconde des formules (4q) ■ on obtiendra l'équation

±^,cos-^-asin-^)sin(il^-.)%

Cette dernière équation , étant celle qui résulte de l'élimination de p entre les formules (39). représente la surface développable qui touche

DU CALCUL INFINITÉSLMAL. 3 2 I

constamment le plan normal à l'hdlice proposée, et qui est le lieu géométrique des développées de cette courbe. Ajoutons que , pour obtenir les deux équations d'une de ces développées, il suffira de joindre à la formule (56) celle que produit l'élimination de p entre les équations (48) et (55), après qu'on a substitué dans l'équation (48) une des valeurs de r qui vérifient la formule (53). On peut d'ailleurs, dans la recherche dont il est ici question, remplacer la formule (48) par la suivante ,

(57) (il±Jll-f-/?^)(,-H.,0=^%

à laquelle on parvient en combinant la formule (48) avec l'équation (54). Q^Liant à l'équation (53), on pourra la présenter sous la forme

et l'on en conclura, en raisonnant comme à la page \o6 ,

Donc la différence finie de l'expression

a , /?(n-rt') " ± arc cos ■

s'évanouira ; ou , en d'autres termes , cette expression conservera une valeur constante, tandis qu'on fera varier l'angle/?. On aura donc , en désignant par C une constante arbitraire ,

-77 rr- p ±: arc cos C ,

ou, ce qui revient au même,

(60) zrrr ; — •

Cela posé, la formule (57) donnera

Ltçons Je M. Cuuchy, i." Année. S S

APPLICATIONS GEOMETRIQUES

Si, dans cette dernière, on substitue la valeur de p tirée de i'équation (54) . on trouvera

La formule (62), réunie à l'cquaîion (56), détermine, pour chaque valeur parlicuiière de la constante C , une développée de i'iiélice que l'on considère.

Il ne sera pas inutile de remarquer que la plus petite des valeurs de r fournies par l'équation [60) est toujours égale au produit (i -\-a-)R , c'est-à-dire, au rayon de courbure, et correspond à une infinité de valeurs diverses de l'angle/;, dont l'une est équivalente au rapport

Si, pour abréger, on désigne par P ce même rapport, ou, en d'autres termes , si l'on pose

les équations [60) et [6\) deviendront respectivement

cos

aip-P) '

-}-îl'=Z<2--/?'

cos

Enfin, si l'on combine l'équation (^5) avec l'équation (54) . on trouvera [66) ^-.;/?;,==:±:(xH-.0^/?tang-^^.

On pourrait remplacer les formules (56) et {61) par le système des formules (49) et (66). Si de ces dernières on tire les valeurs de ^, m et C, exprimées en fonction de p, on obtiendra trois équations comprises dans la formule

(67) i-m -z=.- i- = ±:(i-+-^;') '/? tang-r"^ — ,.•>

qui peut, elle seule, représenter chacune des développées de l'hélice. Il résulte évidemment de l'équation (67) que les coordonnées ^, 1, ^

de chaque développée deviennent infinies , toutes les fois que l'angle p obtient une valeur de la forme

(68) p = P±i{in-+-x)^

H désignant un nombre entier quelconque. De plus , tandis que l'angle p converge vers l'une de ces valeurs, le point (^, r, ^) ne cesse pas d'être situé sur la surface développable représentée par l'équation (56)., et s'approche indéfiniment de celle des génératrices de la même surface à laquelle appartiennent les équations (4p) , quand on attribue à ;? la valeur dont il s'agit. Donc chaque développée sera composée d'une infinité de branches qui s'étendront à l'infini, et dont chacune aura pour asymptotes deux génératrices de la surface (56).

Observons encore que, si l'on nomme Si ei éP les coordonnées polaires de l'une de ces développées projetée sur le plan des x , y , on aura

(6p) l — éUzo'iéP, y — Si s'méP,

et qu'en conséquence les formules (49). réunies à l'équation {66), don-

neront

.^sin(;,-c^) = di^(i-H^^)'/?tang-li^

Sicos{p — S')^-~a-R Le système des équations [66) et (70) peut être employé avec avantage

dans la recherche des propriétés des développées de l'hélice. Si l'on pose, pour plus de simplicité, P=^o, ces équations se réduiront à

(7O { M s\n {p-P)=z±: a [i-i-a^yRtang-^j^ éflcos[p-P)=z — a' R ,

et représenteront celle des développées sur laquelle est situé le centre de courbure correspondant au point de l'hélice qui coïncide avec l'origine. Ajoutons que, pour revenir des formules (71) aux formules [66] et (70) , il suffit évidemment de remplacer les quantités

par les différences

p — P, éP-P, Z^^-ciRP.

Or, la substitution de l'angle/» — P à l'angle p , et de l'ordonnée "C^ — aRP à l'ordonnée ^, est précisément celle qu'il convient d'effectuer pour que la courbe à laquelle appartiennent les trois coordonnées S^, SI et ^ se déplace dans l'espace de telle sorte que chaque point décrive d'abord, en tournant autour de l'axe des i, avec un mouvement de rotation direct , si P est positif, l'angle ■+- P, ou avec un mouvement de rotation rétrograde, si P est négatif, l'angle — P, et parcoure ensuite, en glissant sur une parallèle à cet axe, la longueur ûR P dans le sens des i positives, ou la longueur — ii R P dans le sens des z négatives. Donc le développement dont il s'agit suffit pour transformer la développée que représentent les formules (71) dans l'une quelconque des autres développées de l'hélice. Doijc toutes ces développées sont des courbes semblables entre elles et superposables. Ajoutons que, si l'on attribue à P l'une des valeurs comprises dans la formule

(7z) Pzr:±(..-h,)-^-l

ce seront les diverses branches Je la première développée qui se trouveront, en vertu du déplacement dont nous avons parlé, superposées les unes aux autres. Donc toutes les branches d'une même développée sont semblables entre elles. Ces propriétés remarquables des développées de l'hélice tiennent à la forme régulière de cette courbe, que l'on peut superposera elle-mcme, en lui imprimant tout à-ia-fois un double mouvement de rotation autour de l'axe des i et Je translation parallèlement à cet axe.

On dit que deux courbes à double courbure sont osculatrices l'une de l'autre, en un point qui leur est commun, lorsqu'elles ont en ce point, non-seulement la mcme tangente , mais encore le même cercle osculateur, et par conséquent le même plan osculateur , la même normale principale et la même courbure. Alors le contact qui existe entre les deux courbes prend le nom à'osculation. Cela posé, on établira facilement la proposition suivante.

I .*'' Théorème *, Concevons que deux courhes à double courbure soient repre'sentées par deux équations entre les coordonnées rectangulaires x, y, 1 , et que l'on prenne l'abscisse x pour variable indépendante. Pour que les deux courbes soient osculatrices l'une de l'autre en un point commun correspondant a l'abscisse x , il sera nécessaire et il suffira que les ordonnées y , 1 relatives h cette abscisse et leurs dérivées du premier et du second ordre , c'est-à-dire ,

* Ce théorème, qui subsiste généralement lorsque les quantités y, y ^ y" ^ ^^ 7'^ ^"^

conservent, pour ie point commun aux deux courbes, des valeurs finies, et fournissent une

valeur déterminée du rayon de courbure f , est sujet à quelques exceptions. II pourrait

cesser d'être vrai, si les mêmes quantités, ou quelques-unes d'entre elles, devenaient infinies.

Alors les valeurs de %-x , m-// données par les équations (10), et le rayon de courbure p,

co pourraient se présenter , pour l'une et l'autre courbe , sous la forme — , et varier néanmoins'

dans le passage de la prer.'.ière courbe à la seconde. Au reste , la remarque que nous faisons ici est applicable, non-seulement aux courbes à double courbure, mais encore aux courbes planes, et par conséquent au i.^' théorème de la S."^ leçon. Effectivement, ce théorème serait en défaut, si les courbes proposées se réduisaient aux courbes (50} de la page 143.

/t'j- six quantités

, s ) dy I, d'y . , di „ d' i

conservent , dans le passage d'une courhe à l'autre , les mêmes valeurs numériques et les mêmes signes. * «

Démonstration. En efTet , si ces conditions sont remplies , les deux courbes auront évidemment un point cominun correspondant à l'abscisse X. De phis , on conclura de ce qui a été dit ci-dessus [lé.' leçon, page 282] qu'elles ont la même tangente, et des formules (lo), qu'elles ont le même centre de courbure. Donc, par suite , elles auront encore le même cercle osculateur. Réciproquement , si les deux courbes sont osculatrices l'une de l'autre au point dont l'abscisse est x, non -seulement

les quantités

' dy , di

y </Ar' ^ dx

devront rester les mêmes dans le passage d'une courbe à l'autre , mais on pourra encore en dire autant du rayon de courbure j> , ainsi que des coordonnées ^, n, (^ du centre de courbure, et par conséquent des quantités /, •{ , dont les valeurs , déterminées par le moyen des équations (lo), se réduisent à

Corollaire. H suit du théorème i ." que , dans le cas où deux courbes à double courbure sont osculatrices l'une de l'autre , on peut en dire autant de leurs projections sur chacun des plans coordonnés , et même de leurs projections sur un plan quelconque, puisque l'on peut faire coïncider le plan des x,y, par exemple, avec un pian quelconque choisi arbitrairement dans l'espace.

Le théorème i.*"" étant démontré, on en déduira sans peine, en

raisonnant comme dans la 8.* leçon [pages 117 et 118] une autre proposition que ion peut énoncer comme il suit.

2."^ Théorème. Deux courues h àouhJe courbure étant représentées par deux équations entre les coordonnées x , y , 1, pour savoir si ces deux courbes sont oscuJatrices l'une de l'autre en un point donné , il suffira de prendre pour variable indépendante ou une fonction déterminée des variables x , y , Z> ^'^ lare s compté sur chaque courbe à partir d'un point fse , et d'examiner si, pour le point donné , les mêmes valeurs de

X , y , i, dx , dy , di , d- X , d'-y , d'- 1

peuvent être tirées des équations des deux courbes.

II est bon d'observer que, dans le cas où Ton prend l'arc s pour variable indépendante, le 2.*^ théorème se déduit immédiatement des formules (5) et {6) de la 16." leçon réunies à la formule (2S) de la 17/ leçon et aux formules (5) de la page 308.

Si , dans le théorème i ou 2 , on suppose la seconde courbe rédui*'? au cercle suivant lequel se coupent une sphère et un plan représentés par deux équations de la forme

(.Y — ^) cosLh-(;' — MJcosyWn- (2 — (^ ) cos yV rrr o ,

les conditions propres à exprimer que le point {■"<, y, z) ^st un point d'osculation suffiront pour déterminer le rayon du cercle et les coordonnées du centre, c'est-à-dire, les quatre inconnues ^, n , (1^ et f , avec deux des trois angles L, M , N , qui d'ailleurs sont liés ejUre eux par i'équation

(75) cos* L 4- cos* M -H. Gos' N =: i.

En effet, si l'on prend x pour variable indépendante, les valeurs de y, y, y", z- Z> Z ^'l'^^^s des équations finies de la première courbe et de ses équations dérivées devront satisfaire, en vertu du théorème i."".

ili)

aux équations finies du cercle et à leurs dérivées du premier et du second ordre, c'est-à-dire , aux six formules

(76) x — ^~i-{y — r)y^{z — Oz=o,

{ [x — Ê) cosZ. ■+- {y — r)cosM-+~ [z — ^)cos//r= o , (•77) < cos L H- /' cos Af -H 2' cos TVcz: o , ( y" cos A^ -+- z cos A^ =: o.

Lorsque de ces dernières formules, jointes à l'équation (75), on déduit les valeurs des inconnues L, M, N , Ç, r, C, et f, on retrouve, comme on devait s'y attendre, les équations (ij) et (2^) de la 17/ leçon, et les équations (10) de la page 30c).

Si l'on cessait de prendre x pour variable indépendante, alors les équations finies du cercle et ses équations différentielles du premier et du second ordre pourraient être présentées sous les formes

(^-^)* 4- [y—^Y -t- iz—Q' — f ,

(78) { {x — l)c{x^{y~i,)cIy-+^{Z — O^Z = o,

{x—^)^\x--h{y — r,)jy-i-{z—0'^'z = -^s\

{x — ^)cosL -f- (>» — r) cos M -+- {z — 4)cosA^ =: o; (75)) l cos L dx -+- cos M dy -\- cos N dz'=- o , cosLd''x -{-' cosA<fdy -+- cos Nd'z::^ o ,

et devraient être vérifiées par les valeurs de x,y, z- ^^ . dy , dz, d^ x , d-y , d'z tirées des équations de la première courbe. Il importe d'observer que les équations (7^) coïncident avec les formules (4) et (i^) de la 17.' leçon, et les équations (78) avec les formules (i i) de la pagejocj.

DU CALCUL LNFINITÉSLMAL. A 329