DIX-NEUVIÈME LEÇON

Rayons de courbure des Sections faites dans une Surface yar des Plans normaux. Rayons de courbure principaux. Des Sections dont les Courbures sont nulles , dans le cas oii les Rayons de courbure principaux sont dirigés en sens contraires.

Considérons une surface courbe représentée par l'équation

(i) u zzn o ,

dans laquelle u désigne une fonction des coordonnées rectangulaires X , y, 1.' Si, par un point (x , y, i) donné sur cette surface , on fait passer un pian normal, ce plan coupera la surface suivant une certaine courbe que nous nommerons section normale. Soient f le rayon de courbure de cette courbe relatif au point {x, 7» :^). et ^, n , (^ les coordonnées du centre de courbure correspondant. On aura

et, comme le centre de courbure se trouvera évidemment situé sur la normale menée par le point (x,)', i) à la surface proposée, les coordonnées ^, n, (^ vérifieront nécessairement les équations de la normale ou la formule (i i) de la i4-^ leçon ; de sorte qu'on aura encore

Observons maintenant que l'équation (2) , dans le cas où l'on y considère A-, y, i comme seules variables, est l'une des équations du cercle

Levons de Al. Cauchy. i ."^ Aanée. 7" f

oscLiIateur de la section normale que l'on considère, et qu'en vertu des principes établis dans la 17/ leçon la différentielle du second ordre de cette même équation, savoir,

devra être vérifiée par les valeurs de a-, y, 1, dx , dy , di, d^x , d^y , d'i tirées des équations de la section normale.

Si , pour plus de commodité, on désigne par s l'arc de cette courbe, les coordonnées x, y, 1 de la même courbe se trouveront liées à l'arc s par l'équation différentielle

(5) dx' -^dy"- -\- dt z=.ds' ,

en vertu de laquelle la formule (4) pourra être réduite à

On tirera d'ailleurs de la formule (1) différenciée deux fois de suite

/ \ du,, du,, du,,

(7) —^'■'-^-jy^'y-^-ji^-i

d'u j d'^u , , d'-ti j 2 d^u , , d'il , j d'u , j

^i^^'^-^di^'^y^jT^'^^^'-iyd^'^y'^^-^'-d^A^'-^^Tn}'^^'^^

puis, en posant, pour abréger,

d'il dx' d'il dy'' d'il d-^' d'u dy d? d'u d? dx d'u dx dy