OX. OZ. OY

pour revenir ensuite directement de la position OY à la position OX.

Le moyen que nous employons ici, et à l'aide duquel on distingue facilement les deux péces de mouvemens de rotation que peut prendre un plan tournant sur lui-même autour d'un point donné, est celui dont M. Ampère a fait usage dans la Théorie de l'Electncite dynamique.

Afin de bien distinguer les deux espèces de mouvemens que peuf prendre un rayon mobile assujetti à passer par l'origine et à parcourir successivement les trois faces de l'angle solide OXYZ., nous dirons que ce rayon mobile a, dans chacun des plans coordonnes, un mouvement direct de rotation , s'il passe successivement de la position uX à la position OY , et Je celle-ci à la position OZ. Nous dirons, dans le cas contraire, que le même rayon vecteur a un mouvement de rotation rétrograde. En conséquence, si l'on adopte la disposition la plus ordinaire pour les demi -axes des coordonnées positives, les mouvemen» directs de rotation autour de ces demi -axes auront lieu de droite à gauche, et les mouvemens rétrogrades de gauche à droite.

Nous appliquerons les mêmes dénominations aux deux espèces de mouvemens que peut prendre un rayon vecteur mobile en tournant autour d'un point de manière à parcourir successivement les trois faces d'un angle solide quelconque; et quand le mouvement de rotation du rayon vecteur sur chaque face aura lieu de droite à gauche autour de 1 arête située hors de cette face, ce mouvement sera nommé direct ou rétrograde , suivant que les mouvemens de rotation des plans coordonnés, tournant de droite à gauche autour des demi-axes ~OX, ^Jy , Uz , seront eux-mêmes directs ou rétrogrades.

Une droite AB , menée d'un point [A] supposé fixe à un point [B) supposé mobile, sera généralement désignée sous le nom de rayon vecteur. Nommons R ce rayon vecteur :

les coordonnées du point [A);

x> y, l celles du po'nt [B); et

les angles formés par la direction AB avec les Jemi-axes des coordonnées positives.

vr — a , vr — i , tt — c

seront les angles formés par le même rayon vecteur avec les demi-axes des coordonnées négatives. De plus, la projection orthogonale du rayon vecteur sur l'axe des .v sera égale, d'après un théorème connu de trigonométrie, au produit de ce rayon vecteur par le cosinus de l'angle aigu qu'il forme avec l'axe des .v prolongé dans un certain sens. Cette projection se trouvera donc représentée,

si l'angle a est aigu, par le produit R cos a ,

et si l'angle a est obtus , par le produit R cos (vr — a) z=. — ■ R cos ci ; c'est à-dire , dans les deux cas, par la valeur numérique du produit

R cos a.

Il est d'ailleurs évident, i .° que le rayon vecteur projeté, si on lui donne pour origine la projection du point A, sera dirigé dans le sens des x positives ou dans le sens des .v négatives , suivant que l'angle a sera aigu ou obtus ; 2.° que le produit Rcosa sera positif dans le premier cas, négatit dans le second. Donc le produit Rcosa sera équivalent à la projection du rayon vecteur R sur l'axe des x , prise avec le signe -fou avec le signe — , suivant que cette projection sera dirigée dans le sens des .v positives ou dans le sens des x négatives.

De même, les produits Rcosb, Rcosc seront respectivement égaux aux projections orthogonales du rayon vecteur R sur les axes des /. et l, prises tantôt avec le signe-!—, tantôt avec le signe — , suivant que chacime de ces projections sera dirigée dans le sens des coordonnées positives ou négatives.

Les trois projections orthogonales du rayon vecteur, prises avec les signes que nous venons d'indiquer, sont ce que nous appellerons dé-^ sorma-s ses frojections algébriques sur les axes des ,v, des / et des ^.

Elles sont, en vertu de ce qui précède, équivalentes aux trois produits

R cos û , R cos b , R cos c.

De plus , il est facile de s'assurer qu'elles sont respectivement égales aux trois différences

.V — .Vo r / — /o

quand les axes des coordonnées seront perpendiculaires entre eux. On aura donc alors

(i) x — Xo=^Rcosû, y—yo:=:Rcosb , i~-Zo=.Rcosc.

Enfin, comme le rayon vecteur et ses projections orthogonales représentent la diagonale et les arêtes d'un parallélipipède rectangle, le carré du rayon vecteur sera équivalent à la somme des carrés. des trois projections, et l'on aura encore , dans l'hypothèse admise,

(2) R'- = {x — x.y -H {y—y,y -+- iz — Z^Y , ou

(3) R — [^, — ,^Y ^[y—y^y ^^^ — ^^yy .

Cela posé, on tirera des équations (i)

cos a

cos b zzn ' =

cos c

-ZoY]'

et par suite (5)

cos* a H- cos* b —H cos* e =z i.

Les équations (4) suffisent pour dcterminer les angles <J, b, c , que forme avec les demi -axes des coordonnées positives le rayon vecteur mené du point (.Yo,/o. C" ) * ^^ point (.v, /, i). Elles peuvent être remplacées par la seule formule

* ' cos a C05 b cos c

Q uant à la formule (5), elle exprime la relation qui existe toujours entre les trois angles que forme v\ne droite prolongée dans un sens quelconque avec les demi-a\es des coordonnées po;;itives.

Supposons à présent qu'au point {x^, y^, lo) Ion substitue l'origine même des coordonnées. Si l'on dcbitine par r le ravon \ecteur mené de cette origine au point (a-, y , 1), et par et, /3, y les angles que forme ce rayon vecteur avec les demi-axes des coordonnées positives, les formules (]), (z), (4) se trouveront remplacées par les suivantes

(-) A- = /• cos CL , V = ;■ cr,s ;3 , 1 ;=r r cos y ,

(0) cos et nr — > cos 3 =: ^ , cosyrrr-^,

et l'on aura encore, entre les angles a., /3 , y, la relation

( I c) cos^ et H- cos' /3 -f- cos" y = I .

Si le point [A) est situé dans le plan des a-, y, on aura ^=0, et les équations (8), (ç) deviendront

(m) , — [a--+-;.^JS

* Nous indiquerons souvent les points, comme nous le faisons ici, à l'aide de leurs coordonnées renfermées entre deux parenthèses. Quelquefois aussi nous indiquerons les courbe» ou surfaces courbes par Icu's équations.

(12) coseLm: — , cos/3z= — 3 cos7=:0.

De plus, la formule (10) éiant alors réduite à

(13) CCS* a H- cos^/3 =z I , on en tirera

(14) cos I2> z= zh V { i — coi,^ a,) z=:z dz sin (L.

Concevons que, dans la même hypothèse, un rayon vecteur mobile, partant de la position OX, dans laquelle il coïncidait avec le demi-axe des .V positives, se meuve autour de l'origine dans le plan des x, y, avec un mouvement direct de rotation , et parvienne à la position O A après une ou plusieurs rcvolutions efFectuées autour de cette origine. Si ion nomme/; l'angle qu'il aura décrit, et qui peut être supérieur à 400 degrés {^nouvelle division), r et p seront ce qu'on appelle les coordonnées polaires du point [A). Or, il est aisé de voir qu'on aura généralement

(15) x^=:rcosp, y^=.rsïnp, et par conséquent

(16) cos p z^z — ' ■> sin/7==:— •

Si ion compare ces dernières équations aux formules (12), on en conclura

(17) coSyD = coscL, sin />:=:= cos/3.

Il ne s'ensuit pas que les angles et, et Q soient nécessairement égaux à l'angle /» et à son supplément : car ies angles et et /3 doivent rester inférieurs à 200 degrés, tandis que l'angle p peut croître au-delà de toute limite. On doit même observer qua un seul point {A) correspondent

une infinité de valeurs de p , qui diffèrent les unes des autres par des multiples du nombre 2 tt. Enfin , rien n'empêche d'admettre que , pour passer de la position OX à la position OA, le rayon vecteur mobile a décrit l'angle p, en vertu d'un mouvement de rotation rétrograde, et d'attribuer en conséquence à cet angle une valeur négative, tandis que les angles et, /3 sont, d'après les conventions faites, des quantités essentiellement positives , comprises entre les limites o et 'tt.

Nous allons maintenant passer en revue quelques problèmes qui se résolvent facilement à l'aide des principes ci-dessus établis.

I .^'' Problème. Trouver les équations de la droite qui passe par le point {■"^o, yot Zo) > ^^ 1^' ' prolongée dans un certain sens , forme avec les demiaxes des coordonnées positives les angles a, b , c.

Solution. Les équations cherchées se trouvent comprises dans une formule que l'on tire des équations (i), savoir:

COS /' cos c

Cette formule exprime c^ue {es projections algébriques d'un rayon vecteur, compté sur la droite en question , sont respectivement proportionnelles aux cosinus des angles formés par ce rayon vecteur avec les demi- axes des coordonnées positives. Elle fournit les trois équations

7— /o l — Z= Z — l,, " — "o ^— ^o , /— Vo

cos

l? cosc COS C cos a cos a cos ^

qui appartiennent aux projections de la droite sur les trois plans coordonnés, et dont la dernière est une conséquence des deux autres. De plus, comme, en vertu d'un théorème d'analyse [voyez l'Analyse algébrique, note II, i4.^ théorème], la formule

U U tl

Leçons de AL Cauc/ijr. i ."= Aonée.

entraîne toujours la suivante

u II' u" „ , V[ir-\-u'--i-u'--^...)

on conclura Je la formule (i8) et de l'équation (5)

^ ' cosa cas b cosc • L\ / \^ • / v\< v / j

Dans le second membre de cette dernière formule , on devra préférer le signe H- , si, comme on l'a supposé, le rayon vecteur, qui forme avec les axes les angles a, h, c, se dirige du point {xo,yo, ^o) vers le point {•'•''> y > z) ' attendu qu'alors chacune des fractions

y— y.. i — io

cos a cos b

sera une quantité positive. On devrait, au contraire, préférer le signe — , si le rayon vecteur était censé dirigé du point [x , y, 1) vers le point (a-o,/o. ^o)- Dans le premier cas, où l'on adopte le signe -j- , la formule (20) coïncide évidemment avec l'équation [6).

Corollaire. Lorsque le point (.Vo.jo, ^o ) est remplacé par l'origine des coordonnées, les formules (18) et (ip) se réduisent à

cos a

cos fi cosT'

cos,/3 cos> l X X y

cos a cos a cos /3

Si, de plus, on supposait y= — > ou cos y = o , la droite cherchée serait comprise dans le plan des x ,y, et les équations (22) donneraient

/ \ cos /S I

(23) z = o, y=-^^^xz=xtangp = ±:xtangcL.

PRELIMINAIRES. 1 i

2.^ Problème. Trouver l'angle compris entre deux rayons vecteurs , tracés dans le plan des x , y , et menés de ï origine , le premier au point ( .Vo , /„ ) , le second au point (-v,^); ainsi que la surface du triangle renfermé entre ces mêmes rayons vecteurs.

Solution. Soient {A), [B) les deux points que l'on considère, et [0) l'origine des coordonnées. Soient , en outre , po , r^ les coordonnées polaires du point [A], et p , r celles du point {B). Désignons par «to et au les angles que les rayons vecteurs OA, OB forment avec le demiaxe des .V positives , et par /3o , /3 les angles qu'ils forment avec le demi -axe des y positives. Enfin nommons J^ l'angle AOB compris entre les deux rayons vecteurs. \]n rayon vecteur mobile qui décrirait cet angle, nécessairement inférieur à 200 degrés, en passant directement de la position OA àisL position OB , aurait évidemment dans le plan des x,y un mouvement de rotation déterminé, ou direct, ou rétrograde. Cela posé, concevons que le rayon vecteur mobile, avant de parvenir à la position OA, ait décrit, avec un mouvement de rotation direct, et en partant de la position OX , un angle quelconque, qui pourra surpasser la somme de quatre angles droits : cet angle sera l'une des valeurs qu'il est permis d'attribuer à la coordonnée polaire po. De plus, si, en passant de la position OA à la position OB, le rayon vecteur continue de se mouvoir dans le même sens, l'angle po-^^, qu'il aura décrit quand il sera parvenu à la position OB , sera l'une des valeurs qu'il est permis d'attribuer à la coordonnée polaire p. On aura donc , dans cette hypothèse ,

Au contraire, si, pour revenir de la position OA à la positioji OB, le rayon vecteur est obligé de prendre un mouvement de rotation rétrograde, l'une des valeurs de p sera évidemment

Donc , par suite , on pourra supposer

{26) p—po=dzS^,

le signe -1- ou le signe — devant être préféré , suivant que le mouvement de rotation d'un rayon vecteur mobile , passant de la position "ÔÂ à la position 0^ , de manière à décrire l'angle OAB, sera un mouvement direct ou rétrograde. Or, on tirera de la formule (26)

(27) cos J\ = cos [p — ^o) = cos;?o cosp -\- sin^o sin/? ,

(28) disin J^= sin [p — po) =^ cosyt;o s'inp — cosp sin/Jo ."

et , comme on aura d'ailleurs, en vertu des formules (17) ,

cos yo = cos et, s'in p z=i cos /3 ,

cos/^o = cos (X.0 , sinpo':=: cos /80 ,

on trouvera définitivement

(3 o) cos J^ rr: cos cto cos ce "-f- cos/3o cos /3 ,

(31) di: sin J\ :z= cos cto cos /3 — cos a, cos ^o-

Si, à la place des formules (2(j), on substituait les suivantes

\ cos P = — » sin p = — »

I cos/?o = 5 sin;;o=:-^^^ — »

les équations (30) et (31) deviendraient respectivement (33) cosJ\ — ,

(34) zt sin J\

xcy — X yo

To r

II suffit de recourir à l'équation (30), ou à l'équation (33), pour déterminer l'angle S^, qui est censé toujours positif et inférieur à vr. Quant à la surface du triangle compris entre les rayons vecteurs r^, r, elle sera , d'après un théorème connu de trigonométrie , équivalente à la moitié du produit

(35) roTsln S^ = ± {x,y—xy,).

Il est essentiel d'observer que la différence x^y — xy^ devra être , dans le second membre de la formule (35), affectée du même signe que l'angle J\ dans le second membre de l'équation (2^). Par suite, l'expression

(3^) • T{xoy — xyo)

représentera la surface du triangle OAB , ou la même surface prise en signe contraire , suivant que le mouvement de rotation d'un rayon vecteur mobile , passant de la position o A èi la. position OB, sera direct ou rétrograde.

Corollaire /.'"'' Lorsque les rayons vecteurs OA, OB, font partie d'une mêmedroite , on a

(37) J\ ±= o ou <A = TT , et sin J^ r= o. Alors on tire des équations (28), (3 i) et (34) >

(38) tang/7 r= tang /^o ,

, . cos^a cos /3 , -/fcos^a-i-cos^/S) ,

^J''' COS«o C0S/3o /(cos- tto -t-COS^ /3o) '

Les doubles signes que renferment les formules {^ç) et (4o) doivent se réduire au signe H-, lorsque les rayons vecteurs ro, r sont dirigés

l4 PRÉLIMINAIRES.

dans le même sens, et au signe — , iorsque ces rayons vecteurs sont

dirigés en sens contraires.

Corollaire 2.' Lorsque les rayons vecteurs ~ÔÂ , ~ÔB sont perpendiculaires entre eux , on a

(4i) J^ rrz — , et cos <^ = o.

Alors on tire des formules (2.7), (30) et {i-^)

{i^) I -h tang/j . tang/;» = o ,

[^7) cos <Lo cos et -I- cos /3o cos /3 m o ,

[ii) Xo X ~\- y^y=^ o.

Ces trois dernières équations peuvent être facilement transformées lune dans l'autre.

3.^ Problème. Trouver l'angle compris entre deux rayons vecteurs tracés dans l'espace , et menés de l'origine , le premier au point (a'o, jo , tO > ^^ second au point {x , y , i) ; ainsi que la surface du triangle formé par ces 7ncmes rayons vecteurs.

Solution. Soient toujours [A) et [B) les deux points que l'on considère ; To , r les rayons vecteurs OA, OS, et S^ l'angle qu'ils comprennent entre eux. Soient encore cto, /3o, 7o ; a, , /2> , y les angles formés par ces rayons vecteurs avec les demi-axes des x, des y, et des z, prolongés dans le sens des coordonnées positives. Enfin , nommons R la distance AB. On aura, en vertu des formules déjà établies ,

cos a, r=i —^ , cos /S r=z -^ , cos y zz:

cos cLo^=^ , cospo=— , cos7o=:: —

{ r- rr: .V- -+- V' -I

r- =z X- -\- y- -^ r , Vo' = -Vo- -h^o" H- Zo" ;

m r' -f-r,* — 2ror(cosctaCosoc-t-cos/3oCOS/3-4-cos'yo cosy).

Déplus, dans le triangle OAB, qui a pour côtés r , To et R , le cosinus de l'angle J^ sera [en vertu d'un théorème connu de trigonométrie]^

[i%) cos J\ zr:

z= cos et,, cos a, -H- cos /3^ cos /S -|- cos y^ cos y .

Cette dernière formule suffit pour déterminer l'angle S^ compris entre les limites o et vr. On en déduit facilement la valeur de

sin <A =z ]/( I — ces' J^) , et l'on trouve

/ / \ g]j^ J, [(^o^-t->-o^-H;„')(x^-t-/-t-^') — (Ar„y-4-Jo/-l-^o^)'3I

:z:r [(cos/3^cos7'-cos/3cosyo)--*-{cos>'oCOsa-cos7Cosao)'-H(cosaoCos/S-cos«cos/3o)^]i".

Si maintenant on multiplie les rayons vecteurs r^ et r par le sinus de l'angle J^, on obtiendra le produit

(50) r^rûx\S^z^Wy,i—yi^Y~^{l,x — ix,Y-\-{x^y — xy:)'-Y--, dont la moitié , savoir ,

(50 ^ r^r sh^ S^ = [{-^^^^^y ^{^^-^y ^{^^^

représentera précisément la surface du triangle OAB.

Corolîaire //'' Lorsque les rayons vecteurs TTÀ , OB, font partie d'une même droite, on a

(57) S^ -^zz o ou S^ ■=. vc , et sin S^-^o.

Alors on tire de la formule (4p)

(52) yoZ — 72o = o, 2o.v— 2.Vo = o, x^y — xyo=:o,

(53) COSâoCOS3--COS/2>COSj'o=0 , COS3'oCOSa-COS}COSa^= o , cosa^cos/î— cosacos/3o=o-,

et par suite

/ V cos a COS /S cos -y

COStto COS/îo COS ^o

Les doubles signes que renferment les formules (54) et (55) doivent être remplacés par le signe H- , lorsque les rayons vecteurs r, , ;• sont dirigés dans le même sens, et par le signe — , lorsque ces rayons vecteurs sont dirigés en sens contraires.

Corollaire 2.' Lorsque les rayons vecteurs OA , ~ÔB sont perpendiculaires entre eux, on a

(40 S^ z^ — et cos J\ =r o ;

et l'on tire de l'équation (48) (5<5) x,x~+-y^y-^ZoZ^=o ,

ou, ce qui revient au même,

I5 7) cos «ta cos et H- cos ,ô„ cos /3 -f- cos y,, c^s y =: o.

Réciproquement, si la condition (57) est remplie, l'angle J^ sera droit, et les rayons vecteurs r^, r seront perpendiculaires entre eux.

Corollaire ^.' Les projections du triangle OAB sur les plans coordonnes sont respectivement égales [voyci le second problème ] aux valeurs numériques des quantités

Cela posé, il résulte évidemment de la formule (51), que la sur/ace plane OAB est équivalente à la racine carre'e de la somme des carrés de ses projections.. Ce théorème étant ainsi démontré pour la surface d'un trianj^le, il sera facile de l'étendre à une surface plane quelconque.

Corollaire^/ Considérons maintenant deux demi -axes qui, aboutissant, non plus à l'origine des coordonnées, mais à deux points différens de l'espace, forment toujours, avec les axes des .v, / et j prolongés dans le sens des coordonnées positives, des angles représentés par les lettres cto , /S<, , yo ; et , /3, y. Ces deux demi-axes seront censés former entre eux le même angle que deux demi -axes parallèles et prolongés dans le mcme sens à partir de l'origine des coordonnées. Donc, si l'on nomme <A l'angle des deux demi-axes proposés , on aura encore

(48) cos J^ rz: cosoto cosa- -H cos/3oCos/3 -H cosyo cosy , et

(4p) sin S^ zzz

[(cos/3oCOS>-cos/3cos>„)'-t-(cos7'„co5a-cos«cosx)'-+-(ccsa„cos/î-cos«cosj3j*]T

Si l'angle S" se réduit à zéro ou à 200 degrés, les deux demi -axes deviendront parallèles, et l'on aura

Ltçonsde AJ. Ctiuchy. r.'' Année, Ç

, . cos a cos/5 cosy ^

^5 5/ cosa, cos/S^ cos^u

]e signe -+- ou le signe — devant être préféré suivant que les deux demi -axes seront prolongés dans le inème sens ou en sens contraires. Si l'angle J^ se réduit à un angle droit, on pourra mener par l'un des demi-axes un plan perpendiculaire à l'autre ,' et l'on trouvera

(57} cosato cossc -+• cos,So cos/d -f- cos y^ cosy =. o.

Corollaire y/ En s'appuyanî sur la formule (48), on peut facilement transformer les coordonnées rectangulaires >:, y, z en d'autres coordonnéeS rectangulaires ^, r, ^ comptées sur des axes qui passent toujours par le point [0) , et qui, prolongés dans le sens des coordonnées positives, forment respectivement avec les demi-axes des \, y, ^positives, le premier les angles ct^, /S^, Wo, Je second les angles et,, , /3, , y, ; le troisième les angles et,, /3,, y,. En effet, soit toujours r le rayon vecteur mené de l'origine au point (v, j, 1). On aura

Déplus, les cosinus des angles que forment, d'une part, ce rayon vecteur, et de l'autre, le demi-axe des ^ positives, avec les demi-axes des .r, / et ^ positives, étant respectivement

cos «^ , cos 0„ , cos y„ ;

la somme des produits qu'on obtient en multipliant ces cosinus deux à deux , savoir ,

, /■ \ 5t cos a.,, -f- y cos /î„ -H 7 cos Vo (60) ^^

représentera [en vertu de la formule (4p)] le cosinus de i'angle compris

PRELIMINAIRES. jo

entre le Hemî-axe des ^ positives et le rayon vecteur r. Ce dernier cosinus pouvant d'ailleurs tire exprimé par le rapport —, on aura nécessairement

* 2 X cos a„ -+- y cos /^^ -H ^ cos y^

et par suite

!^ =: x cos a,, h-^ cos/3„ -+- ^ cos y, . On trouvera de même V = .Y cos et, H-/COS/3, -t- ^cosy, , (!^ = .vcosoc,-j-^'cos/3. -j-- 2 cos y,.

Les équations {6 1) suffisent pour déterminer ^, v, (^ en fonctions de X, y, i ,et réciproquement. On peut y échanger les coordonnées ^, ^i , (^ avec les coordonnées x, y, i, pourvu que l'on y échange en même temps at,, avec /3^, ce, avec y,, et /3, avec y, . On trouvera de celte manière

!x = ^ cos ct„ H- >i cos et, -1- (^ cos et, , ;' := ^ cos /3„ -f- r cos /3 , H- (^ cos /3 , , iz=:î, cos y» -h « cos y, -H (î^ cos y,.

Enfin, comme les nouveaux axes des coordonnées sont perpendiculaires entre eux, les cosinus des angles qu'ils forment avec les axes de .v, y , i ne satisferont pas seulement aux conditions

( cos' a„ H- cos^ H^ -+- cos^ ?o =: I , (^3) l cos- a, -f- cos* /3, -f- cos">, = I , - -

( cos' «^ -+- cos'' i3, -|- COS*7-;j =z: I ,

mais encore aux suivantes

icostt. cosa, -+- cos /S, cos /3, -+- cos 7, cos 7-, == o, cos*^cos<t„ -4- cos ^^ cos /3, -h cos>,cos>„ = o, COS<»»COSa, -+- cos /îa cos /S, ~t- COS >„ cos >, = o.

On arriverait aux mêmes conditions en substituant les valeurs de ^,

51, ^ données par les formules (6i) dans l'équation

puis égalant dans les deux membres les coefficiens des carrés * * , y- , 2', et des doubles produits sj^, 2j;.v, ^xy. Ajoutons qu'à l'aide des conditions [6t) et (64) on peut déduire immédiatement les formules {61) des formules ((5i).

4.^ Problème. Trouver les é(juations diin plan passant par le point ( -^'o , >'o , Z=)> ^^ perpendiculaire à la droite <jui , prolongée dans un certain sens, forme, avec les demi-axes des coordonnées positives , les angles A , /x , v.

Solution, Soient x, y, 1 les coordonnées d'un point quelconque du plan, et R le rayon vecteur mené du point .Vo , ^o , Z^ 'i" point x, y, z- Les cosinus des angles que forme ce rayon vecteur avec les demi-axes des coordonnées positives étant respectivement

le cosinus de l'angle compris entre ce même rayon vecteur et la droite donnée sera [en vertu de la formule (48)]

De plus, le rayon vecteur R, étant renfermé dans le pian, sera censé former un angle droit avec chacune des lignes perpendiculaires au plan. Donc le cosinus représenté par l'expression (65) sera nul, et l'on aura

[66) (.V— .vjcos A -f- (;•—/,) cos //,-+- (^—2o)cosv r= o.

Cette dernière équation est celle qu'il s'agissait d'obtenir.

Corollaire i." Représentons par k la perpendiculaire abaissée de l'origine des coordonnées sur le pian que l'on considère , et supposons

que les angles A, /x, v, soient précisément ceux que forme cette perpendiculaire avec les demi -axes des coordonnées positives. Enfin désignons par ;• le rayon vecteur mené de l'origine au point (.v, /, z). Le cosinus de i'angle aigu compris entre ce rayon vecteur et ia perpendiculaire k sera évidemment

— cosAH--^coS/M,H- --COSV ==: ^=

Ce même cosinus pouvant être exprimé par ^, on aura en conséquence

et l'on en conclura

\6-j) -v cos A H- ^ cos /x, -f- 2 '^os V rz: ^.

Telle est la forme sous laquelle se présente l'équation du plan , quand on y introduit la constante /< à la place des coordonnées .Vo , y„ , ^c,'. Au reste, pour revenir de l'équation {6j) à la formule {66), il suffit d'attribuer à x, /, i les valeurs particulières .Vo, y^, i^, puis d'éliminer la constante k entre la formule ainsi obtenue, savoir,

(68) A-„cos A -f->'„cos/M. H- 2oCos V rzr A- ,

et l'équation {6-]).

Corollaire 2/ Si l'on fait, pour abréger ,

, ^ V cos A , cas u rî* cos y --,

on en conclura , en supposant toujours la constante k positive , (70) k = ■ ' . ,"

(7 1 1 cos A — — ) cos M. z=i — y COS V rr: — ♦

et la formule {6-j) deviendra

(72) Ax-\-By-^~ Cz= i-

Cette dernière équation est donc celle d'un plan qui est perpendiculaire au demi-axe tracé de manière à former, avec les demi-axes des coordonnées positives , les angles A , /a , v déterminés par les formules (71), et qui coupe ce demi-axe à une distance k de l'origine, la valeur de k étant donnée par la formule (70).

Corollaire

les formules (70) et (71) se trouveraient remplacées par les suivantes

j.' Si l'on supposait