COS V
(75) rncA— rh •>COSIx=^ . ->C0SV = :
dans lesquelles on devrait préférer le signe -H ou le signe — , suivant que la quantité D serait positive ou négative. De plus, l'équation (67) , ramenée à la forme
(76) Ax -^By-i- Cz = D,
serait celle d'un plan mené par l'extrémité du rayon vecteur k, et perpendiculaire à ce rayon , que l'on suppose tracé de manière à former avec les demi-axes des coordonnées positives les angles A, ^t, v.
5.^ Problème. Etant donnés les angles cto , /3o , To , et et , /3, y , (jue
deux rayons vecteurs 'OA , 1)B , menés de l'origine aux points [A] et {B) ,
forment avec les demi-axes des coordonnées positives , on demande les angles
A, fx , V, que forme, avec les mêmes demi-axes , la perpendiculaire OP élevée
par l'origine sur le plan du triangle A OB.
Solution. La droite OP devant ct.e perpendiculaire à chacun des demi-axes 0^4, OB , on aura [en vertu de la formule (57)]
icos cto cos A -H- cos ySo ces a H— cos Yo cos V r=z o , cos et cos A -t- cos (3 cos tt — f- cos y cos v z=i o .
De plus, les angles A, m-, v devront satisfaire à l'équation de condition
(78) COS" A — f- cos' y. H— cos' v z~ i.
Les formules (77) et (78) suffisent pour déterminer, aux signes près, les valeurs des quantités cos A, cos a, cos v. Si entre les équations (77) on élimine successivement ces trois quantités , on obtiendra trois autres équations comprises dans la seule formule
cos A
\iyi cos/î^ cosT" — cos/Scos-)', cos^^cosa — cos-ycosa^ cosa^cos/S — cosacos,î^
Soient maintenant .Vo , /o , 2^ ^^s coordonnées du point i^A); \, y, 1 celles du point [B); r^, r les rayons vecteurs OA, OB , et J^ l'angle compris entre ces mêmes rayons. On tirera de la formule (70), en ayant égard aux équations (49) et (78) ,
cos A COS^
cos/âoCOS^ — CO50COS7, cos-^^cosa — cos^cosa^^ cosa^cos/3 — cosaco5(â^
/ ( COS^ A -<- C05"^ -\- cos' k) / [^COS/â(,COS>— C0S,.SC0S7^)' -H (C0S7-C05a— C05>COSao)" -H (C0Sa^C0S,3— C05CtCOS,-3o ,1'^]
et par suite
cos K COS/ti
y^l — y-^o ^o'' — v^û x^y — xy^ r^ r sin /■
Le double signe dont se trouve affecté le dernier membre de chacune des formules (8o) et {81), indique deux systèmes de valeurs des angles
A, M., V, qui correspondent aux deux directions suivant lesquelles on peut prolonger la droite OP à partir du point {0). Si cette droite est prolongée dans un certain sens, on devra réduire le double signe au signe -H, et l'on tirera des formules (80) et (81)
COS fi^ COS > — COS /?^ COS Vo /o Z
cos A r=: —
CCS f^
cos V
in J'
COS
Vo
ro<;
— cos 7
siii (f
Cns
— cos «
COS
■So
sin <f'
ro rsiniT
ïo * — ^ 'fo
r^r s'mi'
"oy — ^y.
in<r
Si la droite Jjp est prolongée en sens contraire, les cosinus des angles A, /x, V changeront de signe, et ces angles se trouveront remplacés par leurs supplémens. Il ne reste plus qu'à déterminer le sens dans lequel il faut prolonger la droite ÔP pour que les équations (82) soient vérifiées , ou , ce qui est encore plus simple, pour que chacune des trois fractions
cos A
COi fJ.
COS r
yoz—yio
lo-
"j — "yo
et par conséquent la dernière des trois, ait une valeur positive. Or il est facile de s'assurer que cette condition sera remplie, si la perpendiculaire ÔP a été prolongée dans un sens tel qu'un rayon mobile, assujetti à tourner autour du point ((9) , et à parcourir l'une après l'autre, avec un mouvement de rotation direct , les trois faces de l'angle solide OABP , soit obligé, pour décrire l'angle AOB , de passer de la position O^ à la position OB. Admettons, en effet, cette hypothèse. Le rayon mobile, en passant de la position OA à la position OB , aura évidemment un mouvement de rotation direct, non-seulement autour du demi-axe OP, mais encore autour du demi-axe des 1 positives, si ces deux demi -axes sont situés du même côté du plan AOB , c'est-àdire , s'ils forment entre eux un angle aigu , ou , ce qui revient au
même, si le cosinus de cet angle, savoir, cosv, est positif. Au contraire, si cosv est négatif, ou si l'angle v est obtus, les deux demi-axes n'étant plus situés du même côté par rapport au plan OAB , le mouvement du rayon mobile sera rétrograde autour du demi-axe des 1 positives. Soient d'ailleurs OA', UB' les projections des rayons vecteurs OA, OB sur le plan des x, y, ou, en d'autres termes, les rayons vecteurs menés dans ce plan , de l'origine des coordonnées aux points (•*■<>, 7o ) et (.V, y). Tandis que le rayon mobile passera, dans le plan OAB, de la position OA à la position OB , sa projection sur le plan des x,y passera de la position o a' à la position OB'i et le mouvement de cette projection autour de l'axe des 1 sera évidemment de même espèce que le mouvement du rayon mobile, c'est-à-dire, direct ou rétrograde, suivant que la quantité cosv aura une valeur positive ou négative. De plus , il suit des remarques précédemment faites [voye^ le second problème], que la différence
Xo y — X y^
sera positive dans le premier cas, négative dans le second. Donc cette différence et cosv seront, dans l'hypothèse admise, des quantités de même signe, ou, en d'autres termes, la fraction
sera positive, ce qu'il s'agissait de démontrer.
6.'^ Problème. Eta/it donnés les cingles <to , /S, , «Vo ; <t, , y8, , y, ; «t., /S,, y, , {jue forment avec les demi -axes des coordonne'es positives trois rayons vecteurs mene's de l'origine , le premier au point {^Xo , /o , Ta) , te second au point {x, , y, , i,) , le troisième au point {x, , y,, i^) , on demande les angles que chaque rayon vecteur forme avec le plan des deux autres, et le volume de la pyramide triangulaire comprise entré ces rayons vecteurs.
Ltiont de M. Cauchy. i.'* Année,
Sohttion. Soient [A), [B) , [C) les trois points que ['on considère, et désignons par r» , r, , r, les rayons vecteurs OA, ~ÔB , OC. Soient en outre c^o . -^i , <^i les angles^ respectivement compris entre les rayons vecteurs r, et r^ , r^ et To, r» et ;•,. Enfin, représentons par £„ > e, > 6, les angles que chacun des rayons vecteurs To , r, , r^ forme avec le plan des deux autres; et supposons qu'un rayon mobile assujetti à tourner autour du point (0) , et à parcourir avec un mouvement de rotation direct les trois faces de l'angle solide OABC . rencontre toujours les rayons vecteurs r^, /', , r^ dans l'ordre qu'indiquent les indices
rangés de manière à offrir les trois premiers termes d'une progression croissante. Dans cette hypothèse, si l'on nomme A, /x,, i» les angles que forme avec les demi-axes des coordonnées positives un demi-axe OP perpendiculaire au plan du triangle AOB , et situé par rapport à ce plan du même côté que le rayon vecteur r^ , on trouvera (problème précédent) ,
^ COS/î„COS>, COS/3, C0S7-0
