jL 1 ± ^ 2 — -{- Z ■ — — -+- i -t

dx' ds' dy' ds' d^' ds^ dyd^ ds ds d-^dx ds ds dxdy ds ds

on réduira l'équation (7) à la suivante ,

/ \ du, du,, du,, >r^ 1 ,

Si l'on fait en outre, comme dans la i4-^ leçon,

on conclura sans peine de la formule (3) combinée avec les équations (2). (5), (p) et (10).

du ,, du j "^ " 7i

dx dy "^ di

Oii aura donc

et par suite

II est essentiel d'observer que, dans les formules (i i) et (12), R représente une fonction connue des coordonnées x , y , Z- Quant à la quantité Q, dont la valeur est déterminée par l'équation (8) , elle peut être exprimée en fonction des coordonnées x, y, i, et des angles que forme avec les demi -axes des coordonnées positives la tangente menée par le point [x . y , i) à la section normale que l'on considère. En effet, si l'on nomme et, /3, y ces mêmes angles, on aura [voyei la 16.^ leçon]

(i? cosctr= — — 5 cos p =z: —r~i cosyr^--^ — '

^ -" d s '^ d s ds

ou bien

f /\ ^-^ n '^ y ^ '^ y • (li) -cos et r=— —. — > cosp=:— —f—-) cosyrr: 7—'

^ ^' d s d s as

et , dans l'un ou l'autre cas , on tirera de l'équation (8)

,Q r= -^ cos^ ^ -I- 4lii- cos^ /3 -H 4^ cos» y ^ dx- dy- ^ di'

H-2 -r-T cos /3 cosy-l-i -7— r cosy cos et -h -2. TTX ^^^'^ '^°^^^*

dy d^ aiax axay

Or j{ est clair que le second membre de cette dernière équation se réduit à une fonction connue des variables x,y, i, et-, /3, y. Cela posé,, si l'on donne, avec le point {x,y, i), la tangente menée par ce. point à une section- .normale faite dans la surface proposée, il suffira évidemment de recourir à la formule (12) pour déterminer le rayon de courbiir'e / de cette section normale , et à la formule (11) pour déterminer avec* le rayon f les coordonnées |, >i, {^ du centre de courbure.

Lorsqu'on passe d'une section normale à une autre, sans déplacer le point {x , y , 2), les angles et, /3, y changent de valeurs, et la même chose a lieu , du moins en général , pour la quantité Q et pour les vai-iables qui en dépendent, savoir, ^, >i, ^ et/. S'il arrive que dans ce passage la quantité Q change de signe , alors le rayon de courbure de l'une des sections normales sera déterminée par l'équation

et celui de l'autre par l'équation

Car, les quantités/ et R étant essentiellement positives, on doit nécessairement réduire le double signe dz qui affecte le second membre de la formule (12), au signe h- , dans le cas où Q est négatif, et au signe — , dans le cas contraire. D'autre part, les quantités

du du du

étant indépendantes des angles ot-, /S, y, on peut affirmer que, si, dans le passage de la première section à la seconde , la quantité <2 change de signe, les différences

en changeront pareillement. Doncles centres de courbure des deux sections se trouveront situés, à l'égard du point [x,y, i) , l'un d'un côté.

DU CALCUL INFINITÉSLMAL, 333

l'autre Je l'aune , sur ia normale menée par ce point à lu surface donnée ; de sorte que les rayons de courbure des deux sections seront dirigés en sens contraires.

Les rayons de courbure des diverses sections normales qui passent par un même point (.v. >', i) , ont entre eux des relations qui méritent d'être remarquées. Pour découvrir ces relations , il faut d'abord chercher ia loi suivant laquelle le rayon de courbure f, déterminé par la formule (12), varie avec les angles cl, I3 , y, qui sont renfermés dans la valeur de Q. On peut rendre cette loi fort évidente à l'aide d'une construction géométrique qui consiste à porter sur la tangente à chaque section normale, à partir du point {x,y> z) > ^^ ^^^ deux côtés de ce point, deux longueurs égales au rayon de courbure correspondant, ou à une puissance positive de ce rayon. La courbe qui passera par les extrémités des longueurs ainsi portées sur les diverses tangentes, sera évidemment une courbe plane, comprise dans le plan tangent à la surface proposée; et, comme le rayon mené du point (a-, y, 1) à cette courbe croîtra ou décroîtra en même temps que le rayon de courbure de la section normale tangente au rayon vecteur dont il s'agit , il est clair que la nature de la courbe sera très-propre à faire connaître la loi suivant laquelle variera ce rayon de courbure.

Dans le cas particulier où l'on suppose que la longueur portée sur chaque tangente est égale à la racine carrée du rayon de courbure correspondant , la courbe dont nous venons de parler se réduit à une ligne du second degré. Adoptons , en effet , l'hypothèse dont il est ici question, et concevons que l'on désigne par ^, r, (^ , non plus les coordonnées du centre de courbure , mais celles de l'extrémité d'une

longueur égale à f^ portée à partir du point (.v, ;', i) sur la tangente qui forme avec les demi-axes des coordonnées positives les angles et , /3 , y. On trouvera , en admettant que l'origine des coordonnées conserve sa position primitive ,

i—x-=:f^ cosA, r— /=/'cos/3, ^ — i=zj>' cos y ,

3 3 4 APPUCATIONS GÉOMÉTRIQUES

et, en transportant l'origine au point [x, y, i) ,

(i8) ^zrzf'coscL, r = f'cos(i, ^=:f~'cosy.

On tire d' ailleurs de ia formule (12)

Qf =±: R, puis, en remettant pour Q sa valeur donn^^e par l'cquation (i 5),

d^u eP u ^ d*u )

-7 COS*CtH — -. — cos*pH — i—rcos y /

H 2 -j—r cospcosy-t-2 -7—7- cosycosot-t-i ~r-r cosct cos/3 \

dy dj^ d-^dx dxdy ' J

Donc, en ayant égard aux formules (l 8), on trouvera définitivement

,- \ d'- Il y d^ u , d^u-Y, d^ u Y d'-u yy d^ u y , „

20) -r^Ç -t- -TT" -*-"TT-C"-+-i -J—r Ï1C-+-2 -TT Cç-t-^ — — ?n =rh R.

^ ' dx'- ^ dy* a ^ dy d^ d^ dx ^^ dx dy ^

Cette dernière équation, dans le cas où l'on y considère ^, ») et C, comme seules variables, représente une surface du second degré qui renferme la courbe plane ci -dessus mentionnée. On peut remarquer que cette surface a pour centre la nouvelle origine, c'est-à-dire, le point (^x,y, 2); et, comme le plan de la courbe passe aussi par le même point , on est en droit de conclure que la courbe dont il s'agit se réduit à une ligne du second degré qui a encore pour centre le point (.v, y, 2). Pour obtenir les deux équations de cette ligne, il suffit de joindre à la formule (20) l'équation qui représente le plan tangent mené à la surface donnée par le point (.V, y, 2), quand on transporte en ce point l'origine des coordonnées , c'est-à-dire , l'équation

/i ^ d II du y du

que l'on déduit de la formule (2) [ 14-' leçon], en remplaçant ^, *i, C par ç-f-AT, 51-+-;', ^-+-Z- On pourrait encore établir l'équation (21), eii observant que la différentielle de l'équation (i), savoir.

DU CALCUL INFINITÉSLMAL. 535

, V du , dit j , du ,

se réduit, en vertu des formules (13) ou (i4)» à

/ V du d u ^ d tl

[2?) — ; — C05 fit. -I — r-cospH ; — • cos v rr: o ,

■^ ' dx dy d^

et en éliminant de cette dernière, à l'aide des formules {18), les trois angles et, /3, y. Enfin, si l'on appelle A, ^a, v les angles que forme avec les demi-axes des coordonnées positives la normale menée par le point (.V, j, 2) à la surface proposée, on aura

/ ,x cos \ cos^ ^ cos \ .

^~^^ f du \ fdu\ fdu\ '

\Tx) \d}) [dlj

et par suite l'équation (21) pourra être présentée sous la forme

(25) ^COSA -+- Yl cos jH -+- (^COSV HT G.

Observons maintenant que les formules (20) et (25) sont entièrement seanblables aux équations (i) et (2) de la 15.^ leçon, desquelles on les déduit en remplaçant les coordonnées x, y, 1 par les coordonnées ^, >i , (^ , et les coefficiens

A, B, C. D, E. F. K par les quantités

d"" u d'- ti d' u d^u d^u d^ u

^ d y^ d-^ ^ dyd:^ d-^dx dxdy

Cda posé, on conclura des principes exposés dans la 15/ leçon que la ligne représentée par le système des équations (20) et (25) se réduit en général à une ellipse ou au système de deux hyperboles conjuguées; mais que , dans certains cas particuliers , elle peut se transformer en un cercle, ou en un point unique, ou en un système de droites parallèles, également distantes du point [x, y, z)^ ou bien encore en un système de deux droites menées par ce même point. La même conclu-

sion résulte aussi de la forme que prend i'écjuation (20), iorsque le plan des .V, y est parallèle au plan tangent mené par le point {x, y, i). Alors, en effet, l'équation (21) ou (25) se réduit à

et , en combinant celle-ci avec la formule (20) , on trouve pour l'équation de la ligne ci-dessus mentionnée

Or il est facile de s'assurer que l'équation (27) représentera une ellipse, si la différence

\^°l dx^ dy- \dxdy)

est positive ; deux hyperboles conjuguées , si cette différence devient négative; et deux droites parallèles, si la même différence se réduit à zéro. Ajoutons que l'ellipse se transformera en un cercle, si l'on a

d'^ u d' u d' Il

et que la condition (30) R =: o ,

si elle est vérifiée, réduira l'ellipse au point {x , y , i) , ou les deux hyperboles à deux droites menées par ce point. Comme on peut d'ailleurs choisir arbitrairement le plan des x, y, le raisonnement qu'on vient de faire est évidemment applicable à tous les points de la surface proposée.

Pour que l'équation (21) se réduise, comme on vient de le supposer, à l'équation (26), il faut nécessairement que des trois quantités

du du du

les deux premières s'évanouissent, ou que ia troisième devienne infinie.

DU CALCUL 1NFINITÉSL\L\L. 337

Dans le premier cas, on trouve

et l'cqualion (27) devient

/ \ J' Il y , d^ u y, d' u , .du

dx' dxdv ^ dy^ d-^

11 est essentiel d'observer que, pour chaque section normale, les coordonnées ^, « du point situe à l'extrémité de la longueur f^ vérifient toujours une seule des deux équations

/ \ d' U y^ d' U y, d' It , T~.

^■'■>' dx^ ^ dxdy ^ dy'-

^^^^ -d:r^-^^^^^^^^-dj^'>- = -^'

qui sont comprises l'une et l'autre dans la formule (27), et qui correspondent la première à l'équation (16), la seconde à l'équation (17). Donc, si, dans le passage d'une section normale à une autre, le premier membre de la formule (27) change de signe, il faudra substituer les équations (34) et (17) aux équations (33) et {16), ou réciproquement; et par suite, les rayons de courbure de ces deux sections normales seront dirigés en sens contraires. Au reste , cela ne peut arriver que dans le cas où la différence (28) est négative, c'est-à-dire, dans le cas où l'équation (27) représente un système de deux hyperboles conjuguées. Alors le plan tangent à la surface donnée divise cette surface en deux parties, et l'une de ces parties renferme les sections normales dont le rayon de courbure se dirige dans un sens, tandis que l'autre comprend les sections normales dont le rayon^de courbure est dirigé en sens inverse. Au contraire, lorsque l'équation {27) représente une ellipse, cette équation se réduit , pour toutes les sections normales , à une seule des formules (33), {}4)- Donc alors toutes les sections normales ont leurs courbures tournées dans le même sens, ce qui suppose que la surface courbe est située tout entière d'un même côté du plan tangent.

Liions de M. Cauchy. i.'« Année. y y

Comme Je rayon de courbure f d'une section normale est le carré du rayon vecteur >/'(^^-f-r-) mené du point {x, y, l) à la ligne (2.7). on peut affirmer que chacun des deux plans normaux qui passent par les deux axes de cette ligne produit une section normale dont le rayon de courbure est un maximum ou un miiiimiim. Nous nommerons sections principales et rayons de courbure principaux les deux sections normales dont il s'agit et leurs rayons de courbure. Cela posé, il est clair que les plans des sections principales se couperont toujours à angles droits , et que les rayons de courbure principaux seront dirigés dans le mcme sens, si la ligne (27) est une ellipse, mais en sens contraires , si la ligne (27) se transforme en un système de deux hyperboles conjuguées. Ajoutons que ces rayons de courbure représenteront , dans le premier cas , une valeur minimum et une valeur maximum de la variable f , et dans le second cas , deux valeurs minima de la même variable. En d'autres termes, si la ligne (27) est une ellipse, les sections principales seront ies sections normales de plus grande et Je moindre courbure. Mais si l'équation (27) appartient à deux liyperboles , les sections principales seront l'une et l'autre des sections normales de plus grande courbure; seulement, leurs courbures seront dirigées en sens contraires. Dans la même hypothèse les sections normales dont les plans renfermeront ies asymptotes communes aux deux hyperboles, auront évidemment des courbures nulles, correspondantes à des valeurs infinies de f. Donc les plans des deux sections dont les courbures s'évanouiront , formeront des angles égaux avec les plans des sections principales.

Lorsque, la différence (28) étant positive, les conditions (2^) sont vérifiées , l'ellipse représentée par l'équation (27) se change, comme on l'a dit , en un cercle. Alors , toutes les sections normales ayant des courbures égales , on peut désigner sous le nom de sections principales deux sections normales quelconques dont les plans se coupent à angles droits.

Lorsque la différence (28) est nulle, la ligne (27) se réduit à un système de droites parallèles, que l'on peut considérer comme représentant

DU CALCUL LNFINITESLMAL. 339

une ellipse dont le grand axe est devenu infini. Donc alors fes sections principales correspondent à une valeur minimum et à une valeur infinie de f, en sorte que l'une de ces deux sections a une courbure nulle.

Si la quantité R s'évanouissait, toutes les sections normales auraient des rayons de courbure nuls ou infinis.

Il existe entre les rayons de courbure principaux et les rayons de courbure de deux sections normales dont les plans se coupent à angles droits, une relation que l'on déduit facilement des théorèmes i et ^ de la 15.^ leçon. En effet, si l'on remplace les courbes dont il est question dans ce théorème par la ligne (27), les carrés des rayons vecteurs menés à ces mêmes courbes se changeront en rayons de courbure de sections normales à la surface donnée, et l'on se trouvera immédiatement conduit à la proposition suivante.

Théorème. Si, après avoir mené par un point [x, y, 1) d'une surface courbe deux plans rectangulaires entre eux et normaux à cette surjace , on divise successivement l'unité par chacun des rayons de courbure des deux lignes d'intersection , la somme des quotiens sera une quantité constante , pourvu que dans cette somme on prenne toujours avec le signe -\~ les rayons vecteurs dirigés dans un certain sens à partir du point {x,y, i) , et avec le signe — les rayons vecteurs dirigés en sens inverse. Par canséquent la somme dont il s'agit sera égale , au signe près , à la somme ou à la différence des rayons de courbure principaux.

On peut encore trouver facilement la relation qui existe entre le rayon de courbure d'une section normale quelconque et les angles formés par le plan de cette section avec les plans des sections principales. Pour y parvenir, observons d'abord que, dans le cas où le plan tangent a la surface proposée est représenté par l'équation (26), et devient parallèle au plan des x ,y, on a pour la tangente à chaque section normale

-'35) cos7-:^o, (3<5) cos* et -h cos'/3 = I.

vv *

Par suite on tire de la formule (15)

(3 7) o rrr — 7— - cos^ £tH- 2 -7— r-cosctcosp-i--7-T- cos* p.

La valeur précédente de Q devient encore plus simple, quand on suppose les plans des x , i et des y, 1 parallèles aux plans des sections principales. Alors, en effet, l'équation (27), représentant une ligne du second degré rapportée à ses axes, ne peut plus renfermer le produit des coordonnées ^, *), et doit se réduire à

On a en conséquence

Or, en vertu de cette dernière condition, la formule (37) devient

.Comme on tire d'ailleurs de la formule {^6) cos* /S ::= I — cos* a, = sin' a, , il en résulte que l'équation (4o) peut s'écrire comme il suit :

(41) (2 = -7^ cos* et H -^- sm* et.

Cela posé, la formule (12) donnera

(4^) -=:±-^L-^cos^c.H-^^sm^^J.

Soient maintenant ^^ , ^, les rayons de courbure principaux. Comme, pour obtenir ces deux rayons, il suffira de poser successivement, dans la formule (42), et == o , a, = -—, on trouvera

et par suite l'équation (42.) deviendra

(44) — z:r zt — cos" ou rir sin' oc.

Tl • I 1' I d^ Il d^ U j • ' J A

11 est essentiel cl observer que—; — 5 , ^ sont des quantités de ineme

'■ dx' dy *

signe dans le cas où i'cquation (38) représente une ellipse, et des quantités de signes contraires dans le cas où la même équation représente deux hyperboles conjuguées. On en conclut immédiatement que l'équation (44) se réduit, dans le premier cas, à la formule

(i<:) — = — — cos et H — — sin et ,

et dans le second cas, à la formule

(4^) :;t — ^= cos^ et sin^ et ,

le premier membre devant être affecté du signe -f- ou du signe — suivant que le rayon de courbure f est dirigé dans le sens du rayon po

ou dans le sens du rayon p,. Si les dérivées ~, > — ; — deviennent

égales, la courbe (38) sera un cercle. En même temps, on aura f,=^c^,

et l'équation (45) donnera, comme on devait s'y attendre, — zrr — , ou /:=/o-

Si l'une des quantités ■ ■> ^■- s'évanouit , la ligne (38) sera réduite à un système de deux droites parallèles. En même temps l'un des rayons fo, /, deviendra infini et disparaîtra de la formule {<ii)- Si, pour fixer les idées, on suppose -r-^-r=zo , on aura j>^:=^oo, et la formule {^\) donnera

(4?) — =i -^ cos' flt.

Alors fa sera le rayon ce courbure de la section normale qui aura pour tangente la perpendiculaire menée aux deux parallèles par le point

Si l'on ajoute à la valeur de — donnée par la formule {W) ce que

devient cette valeur quand on y remplace * par ci.-\ — - ■> on trouvera pour somme

ce qui s'accorde avec le théorème tie la page 339.

Concevons à présent que l'on veuille déterminer dans l'espace, pour un point quelconque [x , y , 1) de la surface donnée, les directions des tangentes aux sections de courbure principales et les rayons de courbure principaux. Il suffira évidemment de chercher le maximum et le minimum ou les deux minima du rayon de courbure

en supposant les coordonnées ^, r, (^ liées entre elles par les équations 20) et (21). Par suite on reconnaîtra que les valeurs de ^, m, ^ correspondantes aux rayons de courbure principaux doivent véritier la formule (4p) , ^<^^ H- vi^îi -h (^^/(!^ = o ,

après qu'on a éliminé de cette dernière d^, d-/\ et d(i^, à l'aide des équations différentielles

[Id^Uy d'il du- v-\ ,v 1 d-U Y à^" ^'" À J , l '^'^ t ^ '^''" , '^'"P\jy

, J[d7^^^d:T,'^dni^)'^Hd7d-,^-^d7^^

. d U ,y du, d U , y

Cela posé, si l'on ajoute membre à membre les formules (451). (50) ^^ (51), après avoir multiplié la première et la troisième par des facteurs

DU CALCUL INFINITESIMAL. t^^

indctermincs —S, — T, on prouvera, en raisonnant comme dans la 15.^ leçon [page 268], qu'on peut éliminer ces facteurs de manière à faire c\anouir dans l'équation résultante les coefficiens des différentielles </^, Jr, J(^, c'est-à-dire, de manière à vérifier les trois équations

dx^ è ' dxdy"^-^

dx d^

r \ Tl 1

df. dy ^ ' dy'

dydi

d^x ^ ^ d^'u dxdi ^ ' dydi '