I .\ ' a- u y. a' u a u <^ r-r- du

(l^^zSC^T

dy du

Si l'on ajoute ces dernières, après les avoir respectivement multipliées par les coordonnées ^, »i, <!^, on trouvera, en ayant égard aux formules

(^o). (2.) et (48).

(53) ±R=zSf, S=z^ = Q.

Le facteur S ne différera donc pas de la quantité précédemment désignée par la lettre Q. En conséquence les équations (52) pourront être remplacées par les suivantes,

d'u ^\ y d"" U d'u y rr, d U

/ d'u ^\ y au d'u y rr-,

d\di ^ t/y^^

et l'on en conclura

/ du V d^u d^u / d'u ^\ d' u 1

(55) ^ = ^^ ~^ UJ {."d^ ~dP^ ["7^ " ^ j ITd^ J

du r d^u d'u ( d'u „\ d' u T

~*~ ~d^ Vdydi dxdy XTP- ^) didx J

APPLICATIONS GEOMETRIQUES

dx du

du dx

L d^dx 'd^ \ ~d^' ^ j dxdy

\ dx dji d:^dx \ d x- ^ ) dj/ d^

L ^c/j "^W7 \dp ^j d-Jx

dy L dxdy didx \d?^ ^ j Ifd^

[(^-Q}(-^-<2)-(SJ

d X. V.\ d x' ^*"/\ d y' ^^ j \dxdy,

"d désignant un coefficient dont la valeur se déduira de la formule (48). En effet, si l'on combine celle-ci avec les équations (55), (56), (57). on en tirera

U' désignant la somme des carrés des coefficiens de i^ dans les valeurs de ^, r, (^ données par les trois équations dont il s'agit. De plus, la substitution de ces valeurs dans la formule (21) produira l'équation

(S)'[(9-'2)(^"-'2HI^)>(^ï)"[(^--C^-^)-(ê)l

fduyr/d'u y-^\('i'" -q\ ('^'"Y~\ du dur d'u d'u d'u M'"/^\ "1

"*■ V ^ J IW- ~^J\dT ~^} ^J^'^yl \^^ dydi \dxdy d-Jx dyd^ \ dx' ~^ j J

du du r d'u d'^u

dur

d-^ dx | dyd~ dxdy

d-?dx

d'u fd^u

1 d'u „\-] du du r d'u d'u dtild'-u „\-l

\dT'~^]y-JxJyVd^<dJdi'~dZry\dl'~^}\

qui est du second degré par rapport à Q, et dont ies deux racines sont les deux valeurs de Q correspondantes aux rayons de courbure principaux. Lorsqu'on aura calculé ces mêmes racines pour un point [x, y, Z) de la surface donnée, l'équation (48) fournira immédiatement les valeurs des deux rayons de courbure principaux, et l'on déduira des formules

(55)' (5O. (57) réunies à l'équation (58), les coordonnées ^, r, <^ de quatre points situés sur les tangentes aux sections principales. Enfin , si l'on combine les formules (55), (56), {57) et (58) avec les équations (18), on obtiendra les suivantes

(60) co s et := =h -rr \ H — 7~ ~n~~n (":; (2 -,— 7-

dz l Jj'di dxdy \ dy^ ~^j ~d^

du r d-'u d' Il / <i'= ,/ ^\ d^ u

dx L didx dydi Wt' / dxdy

^" r g^'" ^'" / dut ^\ d'il

di L dxdy didx \ dx' ^1 1^

du r d'u d'u f d'u \ d'u

dx ] dydi dxdy \ dy'- ^j didx

qui serviront à déterminer les angles et, /3, y formés par les tancrentes aux sections principales avec les demi -axes des coordonnées positives. II importe d'observer que, dans chacune des trois équations (^o), (61) et {62), on devra réduire le double signe ztz au signe H-, quand la tangente à l'une des sections principales sera prolongée dans un certain sens, et au signe — , quand la même tangente sera prolongée en sens inverse.

Ainsi qu'on devait s'y attendre, l'équation (5^) est semblable à la formule (145) [15.* leçon], de laquelle on la déduit en remplaçant les quantités

Lefons Je M. Cauchy. i .■« Année. y „

cosA, cosfA,, cosv; A,B,C,D,E,F; et j par les quantités

du du du, d'u d'il d^u d' u d' u d' u , ^

dx dy d-^ dx' dy'' d-^ dy d^ d-^dx dxdy ^'

Lorsque les variables x, y, i sont séparées dans i'équation (i), c'està-dire , lorsque la fonction u se divise en trois parties dont chacune renferme une seule des variables x,y, i, on a, pour tous les points de la surface donnée

^ -" dydi ' d^dx ' dxdy

Alors les formules (54) deviennent

et, en substituant les valeurs de ^,y\, C, tirées de ces formules dans l'équation (21), on obtient la suivante:

/ du \î / du \i / du \i

\77] [~dj) [l^]

dx' ^ dy' ^ di'

Dans la même hypothèse, on conclut des formules (64) combinées avec l'équation (48)

du \ ï , du » » t du

dx- ^ f \ jy \L / \ ^^

puis, en ayant égard aux formules (18), on trouve

(4ï^-«)— (^-C)cos/3 (-^-Q)-V

DU CALCUL INFINITÉSLMAL, 347

II suffit de joindre cette dernière aux formules (12) Gt{6^) pour déterminer, dans l'hypothèse admise, les directions des tangentes aux sections principales et les rayons de courbure principaux.

Appliquons maintenant les formules que nous venons d'établir à quelques exemples.

/."" Exemple. Concevons que la surface donnée se réduise à celle de l'ellipsoïde représenté par l'équation

Oji pourra

prendre

a rr

et l'on aura

, par suite

dx ~

X du

" a^ ' dy

I d-u ' a^ ' dy""

Cela posé ,

les formul

es {65). (

12) et (67)

deviendront

ih)

-ÇLh'-)

cM'-(2^")

— Q a^)zoia.

2/^")cosiS

. (i-(2c')cos>

=±[(^=^)"HH(^^r-H(^i7rr]-

Ces dernières suffisent pour déterminer, en chaque point de l'ellipsoïde, les directions des tangentes aux sections principales et les deux rayons de courbure principaux. De plus, en retranchant l'équation [6c^) de l'équation (68), on trouvera