XX
Or, il résulte de la formuie (72) que , si , après avoir calculé l'une des valeurs maximum ou minimum de la variable Q, on construit un nouvel ellipsoïde dont les demi-axes a, b, c soient déterminés par les équations
(73) a^ = ^^-l-, b^=z^* — ^, c*=zc' — ~y
ce Tiouvel ellipsoïde passera encore par le point (.v, y, i). On peut remarquer que les sections faites par les plans coordonnés dans l'ellipsoïde proposé et dans le nouvel ellipsoïde seront décrites des mêmes foyers ; car on aura
2..' Exemple. Concevons qu'après avoir tracé, dans le plan des x,y, une courbe représentée par l'équation
on fasse tourner cette courbe autour de l'axe des x. Elle engendrera une surface de révolution dans laquelle la distance du point [^x.y, 2) à l'axe des A-, savoir, ■^/(j^-H^') . sera équivalente, au signe près, à l'ordonnée /(a') de la courbe génératrice. On aura donc, pour tous les points de la surface ■p/(^*H-^^) :=:=: dr y(.v), ou
et l'on pourra prendre
« = 4-j/-Hr-[/{^)]'l-
On trouvera par suite
du ri \ r' I \ '^ " ''"
dx J V IJ ^ )' dy ^ ' di
d'il d'u
^ = -l[/My-^/W-/"W!. ^V4-=i. ^^=r.
DU CALCUL INFINITÉSLMAL. -^^p
Cela posé, on tirera Je Ja formule (65)
Q-+-[/'Wr-t-/M/"(x) ^ (2-1 puis, en remettant pour /^-h 3- sa valeur [/(v)]-, on en conclura
On aura d'ailleurs
(78) /? = l/l/H-r + [/(.v)/'(.v)]'|=:±/(.v)/[l-f-[/'(.v)pi;
et en conséquence la formule (12) donnera
La valeur précédente de p est le rayon de courbure de la courbe génératrice, qui coïncide effectivement avec l'une des sections principales de la surface de révolution. Quant au rayon de courbure de l'autre section principale, il suffira, pour le déterminer, de revenir aux équations {64), qui, dans le cas présent, se réduiront à
En effet , on vérifiera ces trois équations en prenant
Par suite la formule (12) donnera pour le rayon de courbure cherché
(82) ^ = ±:i?=:±/(.v)ji-+-[/'(.v)?'f.
Donc ce rayon de courbure se confondra toujours avec la normale /V de la génératrice \v0ye7, la formule (5) , page 48 ]. De plus , comme la dernière des formules (81), savoir, ^zzzo, entraînera l'équation
(8 j) cos a. :z:z o ,
3 50 APPLICATIONS GEOMETRIQUES
il est clair que ia section principale, correspondante au rayon de courbure dont il s'agit , aura pour tangente une droite comprise dans un plan perpendiculaire à l'axe des .v.
Les formules générales précédemment obtenues se simplifient lorsqu'on suppose l'équation de la surface résolue par rapport à 2, et réduite à la forme
Concevons que dans cette hypothèse on fasse, pour abréger,
f df[x,y) df{^,y)
-ir--P' -jy--^'
1 dx^ ' dxdy ' dy^
Alors, en posant on trouvera
du du du
dx ' ' dy ' ' di
dx^ ' dy"" ' d'C
= O , — — - zn 0
dyd'^ d-^dx ' dxdy
Par suite les formules (10), (15) et (23) donneront
(87) (2 = ''cos'ct-f-a J cos ACOS/3-|-rcos*/3 ,
(88) ;?cosct -t- ^cos/3 =1= cosy ;
tandis que les formules (2,0) et (21) se réduiront à
(85,) r|»-f-2i^7i-t-/t)^ = ifc/?,
et
Telles seront, dans l'hypothèse admise, les deux équations de la courbe plane qu'on obtient en portant, à partir du point {x.y, z) , sur la tangente à chaque section normale, des longueurs égales à la racine carrée du rayon de courbure de cette même section. Comme la première de ces équations renferme seulement les deux coordonnées ^, vt, il est clair qu'elle représente la projection de la courbe sur le plan des .v , y ; et comme, d'après la forme de l'équation (8p), cette projection se réduit évidemment à une ellipse ou à deux hyperboles conjuguées, ou au système de deux droites parallèles, ou enfin au système de deux droites qui se coupent au point {x,y, i) , on peut affirmer que la courbe en question se réduira elle-même à l'une des lignes qu'on vient de nommer. On déduira sans peine de cette remarque les diverses conséquences auxquelles nous sommes déjà parvenus en partant des formules (20) et (21).
Quant aux rayons de courbure principaux, ils seront toujours déterminés par la.formule (49). de laquelle on devra éliminer d^, d-r et JÇ. par le moyen des équations différentielles
(91) (/-^-t- jr)^^-H(-f^ -H/ïi) ^>i = o,
{92.) pd^-^ ^dYl = d^
Or, si l'on élimine d'abord dl^ entre les formules (49) et (92), on aura
{^ -i- P ^) d ^ -h- {yi-i-pl^)dy\z:= o, et l'on conclura de cette dernière, comparée à l'équation (91) ,
Si maintenant on a égard aux équations (89), (90) et (48), on trouvera simplement
g 5 2 APPLICATIONS GEOMETRIQUES
ou , ce qui revient au même , '
) [r~{i-\-p^')Q]^-^{s—prjQ)^ = o,
Pour déduire des formules (^5) la valeur de <2 . ii suffira d'éliminer entre elles les coordonnées ^ , -/i. En opérant ainsi , on obtiendra l'équation du second degré
qui , étant développée , se réduit à De plus, la formule (12) donnera
Enfin on tirera des équations (^5) et (8p)
, , , ^ — r'l'2 [l -i-p') Q. — r ~ ps — qr-^-qd
et par suite, en ayant égard aux formules (18),
icos a cos ô cos y S — pqQ (i-Hp^)(2 r ~~ ps—qr-i-qQ -__+ >^(-*-7'') ^\[[l-i.p-]s-pqry^{l-l-p'-^q^)[{l^p--)Q-rY\
L'équation (py) fournit évidemment deux valeurs réelles de la quantité Q. En effet, les deux racines de cette équation sont comprises dans la formule
(ici) q =
{!-i-p')t—2pq!-i-[i-hq')r±V\[{t-i-p')t—zpqs-i-{j-i-q']r]'—^i-t-p'-^q'){rl-s')]
et, comme on a identiquement
(102) [^^^p^)t-2pqs^{i-^-cf)rY-i{i-^p'-^q')[rt-s^)
\{i^P'-W^p'-)l—[y-^q')r]^2pq{pqr—[l^p--)s]\^^^[l^p'^q')[pqr—{l^p')sY ^
il en résulte que, dans la formule (101), le polynôme renfermé sous le radical est essentiellement positif Après avoir calculé les deux racines réelles de l'équation (py) , il suffira de les substituer dans la formule (p8), pour obtenir les valeurs des deux rayons de courbure principaux , et dans la formule (100), pour déterminer les directions des tangentes menées par le point {x> )', z) '^'^'^ sections principales.
On reconnaît , à la seule inspection de la formule (517), que, dans le cas où l'on a
(103) rt — J^ > G ,
les deux valeurs de Q correspondantes aux rayons de courbure principaux sont des quantités de même signe. Donc alors ces rayons de courbure sont dirigés dans le même sens, et représentent les valeurs maximum et minimum de la variable f. Si l'on avait
(io4) rî — s- < o ,
les deux racines de l'équation (97) seraient des quantités de signes dif-
fcrens , et les rayons de courbure principaux, dirigés en sens contraires,
représenteraient de*ux valeurs miiiima de la variable f. Enfin , si l'on
avait
(105) rt — s'- zzz o ,
l'une des racines de l'équation (97) s'évanouirait, et la valeur maximum de f deviendrait infinie ; donc alors l'une des sections principales aurait une courbure nulle. Il est aisé de s'assurer que cette circonstance a lieu en chaque point d'une surface développable : par conséquent les valeurs de r, s, t tirées de l'équation d'une semblable surface vérifient la formule
Lifens de AI. Cauchy. i.« Année. YV
(105), quelles que soient les valeurs attribuées aux coordonnées x, y, i- Les deux racines de l'équation (97) deviennent égales entre elles, dans le cas où l'expression (102) s'évanouit, ce qui ne peut arriver à moins que l'on n'ait à-la-fois
P^i- — (i -f-/r)j=:o, (i -\-p'-)( — (i H- ^7')/== G, ou , ce qui revient au même ,
Or, dans celte hypothèse, on tire de la formule (101), et même de la formule (86)
Donc alors toutes les valeurs des variables Q et f deviennent égales entre elles, ce qui s'accorde avec une remarque déjà faite [page 338]. Alors aussi les valeurs de cos a, , cos/3, cosy, déterminées par les équations (100), deviennent indéterminées.
Pour que les rayons de courbure principaux soient égaux et dirigés en sens contraires, il est nécessaire que, dans l'équation (5^7). le coefficient de Q s'évanouisse, et que l'on ait en conséquence
(108) i^-^F') — 2p(js-i-{i-^f)r=:o.
Nous ne terminerons pas cette leçon sans rappeler que c'est Eu/cr qui le premier a établi la théorie de la courbure des surfaces , et montré les relations qui existent entre les rayons de courbure des diverses sections faites dans une surface par des plans normaux. Les recherches de cet illustre géomètre sur l'objet dont il s'agit ont été insérées dans les Mémoires de l'Académie de Berlin [année 1760].
DU CALCUL INFINITÉSLMAL. 355
