VINGTIEME LEÇON

Rayons de courbure des différentes Courues que l'on peut tracer sur une Surface donnée. Des Surfaces qui sont osculatrices l'une de l'autre en un point qui leur est commun.

Considérons toujours une surface courbe représentée par l'équation

dans laquelle u désigne une fonction des coordonnées rectangulaires .X, y, i; et concevons que, sur cette même surface, on trace une courbe qui renferme le point {\, y, z)- Si l'on nomme s l'arc de cette courbe, et f son rayon de courbure correspondant au point (-v, >', i) , les cosinus des angles formés par ce rayon avec les demi -axes des coordonnées positives seront, en vertu des formules (3) de la 18.^ leçon,

(^) f~J^^ /^77-' f-JF"-

Si, de plus, on élève par le point (-v,;', i) une normale à la surface

courbe, et si l'on fait, pour abréger,

les cosinus des angles compris entre la normale prolongée dans une certaine direction et les demi -axes des coordonnées positives seront respectivement [voyei les formules (8) de la i4-^ leçon]

, ■> 1 d II 1 du 1 du

Cela posé, soit S^ l'angle formé par la direction de la normale avec la

direction du rayon de courbure. On conclura de la formule (48) des Préliminaires que , pour obtenir cos J^ , il suffit de multiplier les expressions (2) par les expressions (4), et de faire la somme des produits. On aura donc

du ,, du . du . (5) cos^z=^ ^^ ?

Si d'ailleurs on désigne par et, fi, y les angles que forme la tangente à la courbe, prolongée dans un sens ou dans un autre, avec les demiaxes des coordonnées positives , et si l'on différencie deux fois de suite l'équation (i), on en tirera, comme dans la ip." leçon,

/x\ d U ,r du ,, d U ,, ^ 1 .

la valeur de Q étant déterminée par la formule

(7) <2 = ^^cos*cc-f--j-rcos-^-+--^^cos y

d^ u jn. d-u d- u ^

.-+-2- , . cospcosy-t- 2 - , cosycoscc-}-2 . , cosctcosp.

dy d-^ d^dx dxdy

Par conséquent la formule (5) donnera

(8) cosi^ = -^Q. ^= Q-

et l'on en conclura

Des trois quantités R, Q et S^, comprises dans le second membre de l'équation (9), la première, savoir R , dépend uniquement de la position du point {x , y , z) sur la surface (i). La seconde quantité, savoir Q, dépend à -la -fois de cette position et de la direction de la tangente menée par le point (.v, y , i) à ia courbe tracée sur la surface. Q,uant à la quantité J^, elle représente toujours l'un des deux angles aigu et

DU CALCUL INFINITÉSLMAL. ^57

obtus formés par le plan oscillateur de la courbe, ou, ce qui revient au même, par la norniale principale de ia courbe, avec la normale à la surface , cette dernière normale étant prolongée dans un certain sens. Cela posé, il est clair que, si l'on donne, avec le point {x , y , i) , ia tangente à la courbe et le plan osculateur, les quantités Q et R seront connues, ainsi que la valeur numérique de cos J^, Donc alors on pourra déterminer, par Je moyen de la formule (p), le rayon de courbure p. De plus, comme les quantités f et R sont essentiellement positives , on peut conclure de l'équation (p) que

(10) cos J^ et Q

seront toujours des quantités de signes différens. A l'aide de cette remarque, on déterminera immédiatement le signe de cosJ^, et par conséquent le sens dans lequel on devra porter le rayon de courbure p sur la normale principale de la courbe proposée.

De ce qu'on vient de dire il résulte, i.° que, si deux courbes tracées sur la surface (i) ont le même plan osculateur, elles auront aussi le même rayon de courbure; 2.° que si ces deux courbes ont la même tangente sans avoir le même plan osculateur , leurs rayons de courbure seront proportionnels aux cosinus des angles que leurs normales principales formeront avec ia normale à la surface donnée. Dans le cas particulier où le plan osculateur d'une courbe devient un plan normal à cette même surface , on a nécessairement

(11) ■" cos J^ nz rt I ,

le signe -»- ou — devant être admis suivant que le rayon de courbure est dirigé dans un sens ou dans un autre; et l'équation (p) se réduit a

Cette dernière coïncide avec la formule (12) de la ip.^ leçon. Il suflit de la comparer à l'équation (9) pour établir la proposition suivante.

^5g APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

I .^'' Théorème. Concevons qu'une courbe quelconque étant tracée sur une surface, on mène , par la tangente à la courbe en un point donné [x , y , i) , un plan normal à la surface. Le rayon de courbure de la courbe sera le produit du rayon de courbure de la section faite par le plan normal et du cosinus de l'angle aigu compris entre ce même plan et le plan osculateur de la courbe.

On peut aisément vérifier le théorème qui précède dans phisieurs cas particuliers. Ainsi, par exeinple , si par un point donné sur une sphère on fait passer un grand cercle et im petit cercle qui aient en ce point la même tangente , on reconnaîtra sans peine que le rayon du petit cercle est équivalent au rayon de la sphère multiplié par le cosinus de l'angle aigu compris entre les plans des deux cercles.

Concevons encore qu'après avoir tracé, dans le plan des x, y, une courbe représentée par l'équation

on considère la surface engendrée par la révolution de cette courbe de l'axe des x , et que l'on demande le rayon de courbure f de la section faite, au point {x, y, 1) de la surface, par un plan normal à la courbe génératrice. L'angle aigu compris entre ce plan normal et le plan mené par le point [x , y , 1) perpendiculairement à l'axe des x sera évidemment égal à l'inclinaison r de la courbe génératrice par rapport au même axe. Donc , puisque le second plan coupera la surface de révolution suivant un cercle , le rayon de ce cercle sera équivalent au produit ^cosr. D'ailleurs le rayon dont il s'agit se confondra, au signe près, avec l'ordonnée f [x] de la courbe génératrice. On aura donc

(i4) ^cosr =:±/(.v).

Enfin, comme la dernière des formules (6) de la i .''^ leçon donnera

on tirera de l'équation (14)

DU CALCUL INFINITESIMAL. 35c

(r6) ^rr:±/(.v)i/il-l-[/(.v)]M;

et l'on se trouvera ainsi ramené à la formule (82) Je la leçon j)réccdente. Supposons maintenant l'équation (i) résolue par rapport à i, et réduite à la forme

Alors si l'on fait usage des notations adoptées dans la 19.^ leçon, ou, ce qui revient au même, si l'on désigne par

( i^f{x,)')=pJx -\- ^ciy , et

/ d- f[x ,y) z=. rdx' -\- isdx dj -h tdy' ,

les différentielles totales de f [x , y) , du premier et du second ordre, prises par rapport aux variables .v et^y considérées comme indépendantes, on aura

/? rz: /( I ^p^-^q-), et

Q =^ r cos- oL -\- 2 s cos ou cos f3 -h i cos' /3.

En conséquence la formule (8) deviendra

cos oA rcos^a -t- 2i- cosa cos/3 -t- ?cos^ ^

V{l-+-p^-^qn

Dans cette dernière , tA sera l'angle compris entre le rayon f et la normale à la surface proposée, cette normale étant prolongée de manière à former avec les demi-axes des coordonnées positives des angles A, ^, v, déterminés par les équations

(21) COS A = 77 -^ jTî cos^arz:— -, cos V =:=: -. ^ --

On dit que deux surfaces sont oscuhurices l'une de l'autre en un point qui leur est commun, lorsqu'elles ont en ce point non - seulement le même plan tangent , mais encore des sections principales comprises dans les mêmes plans normaux, et les mêmes rayons de courbure prin-

2 6o APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES ^

cipaiix dirigés dans les mêmes sens. Alors le contact qui existe entre les deux surfaces prend le nom à' oscillation. Concevons que , dans le même cas , on mène par ie point commun aux àeux surfaces un plan quelconque. On conclura de la formule (44) [ ip.^ leçon], si ce pian est jiormal aux deux surfaces, et de la proposition énoncée à la page 358, s'il est oblique, qu'il coupe les deux surfaces suivant deux courbes qui ont le même rayon de courbure. Donc le second membre de la formule (20) et la fraction

rcos^a ■+- i^cosa cos/S -4- f cos^^ (^2.) V[l-^p^-\-q')

devront rester invariables <|ans le passage de la première surface à la seconde , pour toutes les valeurs des angles a, , /3 propres à vérifier l'équation .|l,

(23) cos^ct H- cos*(ô-l-(/?coS(X, -f- </cos/3)^ zz: I ,

à laquelle on parvient en combinant l'équation (88) de la ip.^ leçon avec la formule

cos' CL -+- cos' /3 -+- cos* y = I .

D'ailleurs, les deux surfaces se touchant par hypothèse , les quantités V , a , et par suite le dénominateur de la fraction (22), ne varieront pas dans le passage de l'une à l'autre. Donc il en sera de même du numérateur

(24) rcos^ct-H 2Jcosct cos/3 -h- f cos'/3.

Or , ce numérateur se réduisant, lorsqu'on suppose cos/3 = o, au produit rcos^ct, et, lorsqu'on suppose coscc=o, au produit /cos\ô, il est évident, i.° que les deux quantités r, t ne changeront pas de valeurs dans le passage dont il s'agit; 2." qu'il en sera encore de même du second terme de l'expression (24), et par suite de la quantité s. Ajoutons que les cinq quantités représentées ici par p, q, r, s, t sont préci-

DU CALCUL LNFINITESLMAL. 36 I

sèment les dc'rivées partielles du premier et Jii second ordre de la vaieiir de 1 fournie par l'équation d'une surface dans le cas où l'on considère .v et 7 comme variables indupendantes. On peut donc énoncer la proposition suivante.

2/ Théorème. Lorsque deux surfaces , représentées par deux équations entre les coordonnées rectangulaires x , y , 1, sont osculatrtces l'une de l autre en un point donné j les six quantités

conservent , pour le point commun , dans le passage de la première surface à la seconde, les mêmes valeurs numériques et les mêmes signes.

Corollaire /.''' On pourrait établir généralement la proposition inverse de celle qui précède, et faire voir que si , pour des valeurs données de X et j, les quantités (25) ne varient pas dans le passage d'une première surface à une seconde , ces deux, surfaces seront osculatrices l'une de l'autre. En effet, il est d'abord évident qu'elles auront un point commun dans lequel elles se toucheront. De plus, on conclura de la formule (20) que, si l'on coupe les deux surfaces par un plan quelconque normal ou oblique, les deux courbes d'intersection auront le même rayon de courbure. Donc les deux surfaces auront les mêmes rayons de courbure principaux correspondans aux mêmes plans normaux, et leur point de contact sera un point d'osculation. Toutefois cette conclusion ne serait pas rigoureuse, si la valeur de f tirée de l'équation (20) se présentait sous une forme indéterminée; ce qui arriverait, si les valeurs des quantités/», q, r, s, t, ou de quelques-unes d'entre elles, devenaient infinies; et, dans ce dernier cas, les deux surfaces, sans être osculatrices l'une de l'autre, pourraient fournir, pour le point commun, des valeurs égales des dérivées /), q, r, s et t. Cette remarque est analogue à celle que nous avons faite relativement aux conditions qui expriment l'ordre de contact de deux courbes planes [voye^ la page i43 ]•

Corollaire 2/ Pour qu'un point dans lequel deux surfaces se touchent

Leçons de AI. Cauch). i.'= Année. 77

devienne un point d'osculation , il suffit évidemment que, dans le passage d'une surface à l'autre , la courbe du second degré tracée sur le plan tangent, et dont les rayons vecteurs sont égaux aux racines tarrées des rayons de courbure des sections norn)aIes , ne varie pas. Or, une courbe du second degré est complètement déterminée , quand on connaît le centre et trois rayons vecteurs menés du centre à trois points de la tourbe. De plus , étant donné le rayon de courbure d'une section faite dans une surface par un plan oblique, on en déduit immédiatement, à l'aide du théorème i."', le rayon de courbure de la section normale qui a la même tangente, et par conséquent lun des rayons vecteurs de la courbe ci - dessus mentionnée. Donc , f(.iar (jiiiiii point diins lequel deux surfaces se touchent , soit un point d'osculation , il suffit que trois plans menés arbitrairement par ce point coupent chacun les deux surfaces suivant deux courhes osculatriccs l'une de l'autre. 11 est bon d'observer que cette condition sera remplie , si les rayons de courbiu'e des sections faites dans la première et dans la seconde surface par des pians parallèles aux plans coordonnés sont égaux et dirigés dans les mêmes sens.

Corollaire j.' Soient maintenant

les équations de deux surfaces courbes, u, v dési^nant des fc<ncti(jns des coordonnées rectangulaires .v , y, 1. Si l'on différencie l'équation (26}, i.° par rapport à .v, en regardant 1 comme fonction de .v.- 2/ par rapport àjv, en regardant 1 comme fonction de v, on obtiendra les deux formules

dit du di du du di

dx "^ ~d7' 77 ° » 77 "^ ~dT 77 ° '

puis, en opérant sur chacune de ces dernières comme on vient de le faire sur l'équation u=zo, on trouvera

DU CALCUL 1NFINITESI^L4L.

(Pu d' u d?

dx d:^ dx d

d- u d:r d' Il d:^

dx'd^u

di' \dxl

drV- du d\

di dx-

d^u di di du d'-

dxdy d.yd-1 dx dxd^ dy d i^ dx dy dx dxdy

(i'u I di

'■j^idiy

7' \dyl

dy'^ ' " dydi dy ' di^ \dyl ' d 7^ dy'-

En d'autres termes , on aura

dx'- ' dxd?

'dj

d'u d^u d'-u , d--u du

-d^^P-d^-^'l-dZd^'^P'J'd^^'^

d^u dy'-

d'u dydi

Oji trouvera par suite

d' u fdu\i

dx^

d' u du du

dxdi dx di d-^

d^u /du\^

d'u I duY

dxdy

d' u du du

d'u du du d'-u du du

dydi dx di dxd^ dy d^ d-^ dx dy

' du\ î d' u du du

d-u I duy d'u du du d u [ djjy

IJ^Ui) ^ dydi djdl~^di^ [dyj

Cela posé, pour que les deux surfaces (26) et (2 y) soient osculatrices l'une de l'autre en un point commun {x, y, z) > '^ sera nécessaire et il suffira généralement que les valeurs de p, (], r , s, t déduites des équations (30) et (31) ne varient pas quand on y remplacera la fonction u par la fonction v. Or, cette condition sera remplie , si les coordonnées X, y, i du point commun aux deux surfaces vérifient la formule

d'u [du

\di I dx

d' u du d u

d^ u I du \^

I du y

vit)

d'' V du d u

dx' \d^}

d'u I du \i

dxdy \ dx ] ^y^Z '^'^ '^Z

d'-v I dv \

dxd-^ dx d'^ a 7'

d' u du du d- u du du d' u du du

dxd-^ dy d^ d-^- dx dy

ir-) {

d'v I dv Y dx dy \ d-^ J

d'u I du \- ~df~\Iï)

d'v dv dv

d' V dv dv

dyd^ dx d-^ dxd-^ dy d-^

dx dy

d' u du du

du \i

dydi

du du d' u I du \

dy di di' \ dy )

> I dv \- d'v dv dv d'v I dv \i

dy~ \7^) ^ 1^ 77 77 "^ If^ \77 J

I du \3 / du \3

dv \3

du \3

I dv Y \Iï)

Il est important de remarquer, i.°que la formule (32) équivaut à cinq équations distinctes ; 2.° que , cette formule devant subsister quand on échange entre eux les axes des x , y ei i> '^^ est permis de remplacer l'une des fractions qu'elle renferme, par exemple, la seconde, par celle qu'on obtiendrait en substituant dans le premier membre la lettre y a la lettre z- Donc, pour que les surfaces (26) et (2^) soient osculatrices l'une de l'autre en un point commun [x , y , ^), il est nécessaire et il suffit généralement que les coordonnées de ce point vérifient la formule

DU CALCUL INFINITESLMAL.

( du \> I du \5 / du \3

\"77"j [ly] XW')

d'u I du \- ^d7~\lT] ^ dydi dy dl

dv \i

d'u du du

i'-u I du \»

dy '1

'u I du Y

d- V dv dv dydi dy dl

d^ u du du

d^dx d^ dx

dx'

'Z' \ dx I

'Il I du Y d'u

x' \ d y 1 dx dv

d' V dv dv d- dx d^ dx

d'u du du

d'v dx'

I dv Y d'v dv

\ dy 1 ~ dxdy dx

dv ~dj

On parviendrait directement à cette dernière formule en combinant la condition (47) de la \6.^ leçon avec le principe énoncé dans le corollaire 2 du second théorème, et en exprimant que, dans le passage de la première surface à la seconde, le rayon de courbure f d'une seciioji faite par un plan parallèle à l'un des plans coordonnés conserve une valeur invariable déterminée par l'équation (30) de la 6.^ leçon, ou par celles qu'on en déduit à l'aide d'un échange opéré entre les coordonnées

366 APPLICATIONS GÉOjMÉTRIQUES