VINGT-UNIEME LEÇON

Stn les divers Ordres de contact des Courbes tracées dans l'espace.

Considérons deux courbes tracées dans l'espace , qui se touchent en un point donné. Si du point de contact comme centre , et avec un rayon-infiniment petit, désigné par /', on décrit une sphère, la surface de la sphère coupera les deux courbes en deux points très-voisins l'un de l'autre, et le rapprochement plus ou moins considérable des à^iw courbes, à la distance ; du point de contact, aura évidemment pour mesure la longueur infiniment petite comprise entre les deux points dont il s'agit, ou, ce qui revient au mêine , la corde de l'arc de grand cercle renfermé entre les deux courbes. Ajoutons que les rayons menés aux extrémités de cet arc seront dirigés suivant des droites qui formeront des angles très -petits avec la tangente commune aux deux courbes; d'où il résulte que l'angle compris entre ces rayons sera luimême une quantité très-petite. Soit a> ce dernier angle. L'arc de grand cercle compris entre les deux courbes aura pour mesure le produit

et la corde de cet arc sera équivalente à

(2) 2 i sin -^ •

Si les deux courbes changent de forme , de telle manière que, se touchant toujours au point donné , elles se rapprochent davantage l'une de l'autre dans le voisinage de ce point, les valeurs de l'expression (2) correspondantes à de très -petites valeurs de / diminueront nécessairement ; ce qui suppose que la fonction de / représentée par u) diminuera

DU CALCUL LNFINITLSLMAL. 367

elle- même. Si, au contraire, en vertu du changement de f^rme , ie rapprochement des deux courbes devient moindre , les valeurs de w correspondantes à de très-petites valeurs de / croîtront nécessairement. On peut donc affirmer que , dans le voisinage du point de contact, le riipprocliement des deux courbes sera plus ou moins considérable , et leur contact plus ou moins intime , suivant que les valeurs de co correspondantes à de très-petites valeurs de i seront plus ou moins grandes. De ce principe et du lernme établi à la page 1 2j on déduira immédiatement la proposition suivante.

i .^' The'orème. Si deux courbes se touchent en un point donné \P) , et que l'on marque sur ces deux courbes deux points [Q] , (A') situés a la distance infiniment petite i du point de contact , le rapprochement entre les deux courbes dans le voisinage de ce point sera d'autant plus considera/de que l'ordre de /a' qtuln7Tfé'^]i;1Jinin!ent petite u , destinée à représenter l angle compris entre les rayons vecteurs PQ, PR, sera pjus élevé.

Démonstration. En effet , si la iorme des deux courbes ou de i une d'entre elles vient à changer, de manière que i ordre de la quantité inhniment petite w s'élève, la valeur numérique de w, dans le voisinage du point de contact, diminuera, en vertu du lemme 1 .'^'' de la page 123 , et par suite le rapprochement entre les deux courbes deviendra plus grand qu'il n'était d'abord,

Le the'orème i .^'' étant démontré, il est naturel de prendre Tordre de fa quantité infiniment petite u considérée comme fonction de la base i pour indiquer ce qu'on peut appeler l'ordre de contact des âev\A courbes tracées dans l'espace. Soit a cet ordre. Puisque le rapport ,

a l'unité pour limite, le produit

sin T ^ . ^

cù — — ■ — = 2 sin - —

sera encore une quantité infiniment petite de l'ordre a, tandis que les

expressions (i) et (2) seront, en vertu du lemme 3 de la page 125 , des quantités infiniment petites de l'ordre a-hi. On peut donc énoncer ia proposition suivante.

2." Théorème. Lorsque deux courbes se touchent en un point donne' [P) , l'ordre du contact est inférieur d'une unité' a l'ordre de la quantité' infiniment petite qui représente la distance entre deux points (Q), (/?) situés sur les deux courbes , également éloignés du point de contact, et dont la distance à ce point est un infiniment petit du premier ordre.

11 importe d'observer que la droite QR menée du point (<2) au point (R), étant la base d'un triangle isocèle, et opposée dans ce triangle au très- petit angle m, sera sensiblement perpendiculaire aux rayons vecteurs 7-^ , Pl? , et par suite à la tangente commune aux deux courbes. Ajoutons que la surface du triangle PQ.R ^'9-. d^près un théorème connu de trigonométrie , équivalente "p^ produit des côtés éffaux PQ, IHi par le sinus de l'angle compris entre eux, c'est-à-dire, à l'expression (3) -^i'sinu,

et par conséquent à une quantité infiniment petite, dont l'ordre a-\~2 surpassera de deux unités l'ordre du contact des deux courbes.

Concevons maintenant que l'on projette les deux courbes et le triangle PQR sur un plan qui ne soit pas sensiblement perpendiculaire au plan de ce triangle. Les deux courbes projetées , ayant la même tant^ente [en vertu d'un principe énoncé à la page ip4]> seront tangentes l'une à l'autre. Désignons par [p], [q) , (r) les projections des trois points [P) , [Q) , [R] , par ^ l'angle compris entre les plans des triangles PQR, pqr, et par <p , x^ ^ 'es angles que les droites Tq, pu, QR forment respectivement avec leurs projections pç, yr, qr. On aura

^ z= PQcoscp ii=;cos(p, ;;7-= /'ffcos;:^^ = /cos;;^,

^^' 1 ^r= Q/^ cos'^' ^= 2, / sin- .ces %{/.

DU CALCUL INFINITÉSLMAL. j6g

D'ailleurs on- prouve facilement que la projection de la surface d'un triangle sur un plan quelconque est équivalente a cette surface niuhiplie'e par le cosinus de l'angle aigu compris entre le plan du triangle et le plan sur lequel on projette , ou , ce qui revient au même , par le cosinus de F angle aigu compris entre des droites perpendiculaires aux deux plans dont il s'agit *. Donc la surface du triangle pqr aura pour mesure le produit

(5) — /^ sin a . cos <A :^ i- sin — co . cos ■ — u . cos S^ ,

et le sinus de l'angle pqr sera équivalent au quotient qu'on obtient en divisant le double de cette surface par le produit pqy.qr, c'est-à-dire, à la fraction

//> cos T i^- cos J^