COS 9. COS

Donc le produit de ce cosinus par la droite pq , ou la perpendiculaire abaisse'e du point [p) sur la droite qr , sera représenté par

, . . cos 4 ffl- cos /

Or, la valeur de l'angle « étant très - petite , et celles des angles Ç , ■)(^, ^f^ étant sensiblement différentes de — > les quantités

cos-f-c», cos<A, cos?, cos;)^, cos-^x

auront des'Valeurs sensibles. Cela posé, il suffira de jeter les yeux sur les formules (4) et sur l'expression (7) pour reconnaître, i. que la distance ^ est, dans l'hypothèse admise, une quantité infiniment petite de l'ordre a-k-i , et qu'elle forme avec la distance pq un angle pqr^ ^^ ^^ ^^ sensiblement différefTt de zéro; 2.° que la distance'»^ 'est un infiniment petit du premier ordre. Observons encore que la tangente commune

'■ Pour démonirer ce iliéorème, que l'on peut éiendre à une surface quelconque, il suffit di recourir à la formule (81) des Préliminaires, et de faire coïncider le plan sur lequel on projetie avec l'un des plans coordonnés,

Lefotts ik AI. Caucity. i .'- Année. AO a

aux Jeux courbes projetées , se confondant à très - peu près avec fa droite pç, formera elle-même avec la sécante ^r un angle fini et sensible. Donc [en vertu du théorème 3 .'^ de la p.^ leçon] les courbes projetées ûiirotit entre elles , ainsi que les courbes proposées , un contact de Fordre a.

Si le plan du triangle /;</r cfevenait sensiblement perpendiculaire au plan du triangle PQR, mais en continuant de former un angle sensible avec les côtés T^, ~Fr , et par conséquent avec la tangente commune aux deux courbes données, le contact entre les deux courbes projetées ne pourrait être que d'un ordre égal ou supérieur au nombre a. Alors, en effet, les distances pq, pr seraient encore des quantités infi^ niinent petites du premier ordre, tandis que la distance ^ serait infiniment petite de l'ordre a-\-\ , ou d'un ordre supérieur. Or, imaginons que, dans cette nouvelle hypothèse, une sphère soit décrite du point (/') comme centre avec un rayon égal s. pq , et que cette sphère coupe la seconde des deux courbes projetées en [s). Si l'on joint le point (j) avec les points [q) et (/•) , la droite Ts sera sensiblement parallèle à la tangente commune aux deux courbes projetées, puisque ses extrémités seront situées sur l'une de ces courbes à des distances infiniment petites du point {p). Au contraire, la droite ^, ou, en d'autres termes, la base du triangle isocèle pqs, sera sensiblement perpendiculaire à la même tangente. Donc le triangle qrs sera sensiblement rectangle en s, et par suite la longueur ^, sensiblement égale au produit Jf cos [r q s) , sera, ainsi que la longueur qr, un infiniment petit de l'ordre û-k-\ , ou d'un ordre supérieur. Donc, en vertu du théorème 2 de la 9.^ leçon , l ordre de contact des deux courbes projetées sera ne'cessairement e'gal oa supérieur au nombre a. «s

Concevons à présent que, tous les points de l'espace étant rapportés à trois axes coordonnés des x, y et 1, on projette successivement les deux courbes données sur le plan des x, y et sur le plan des x, i. Supposons d'ailleurs que l'angle compris entre l'axe des .v et la tangente commune aux dçnx courbes diffère sensiblement d'un angle droit.

DU CALCUL INFINITÉSJiMAL; ^ 571

Cette taiigente ne pourra être sensiblement perpendiculaire ni au plan des x,y, m au pian des .v , 3, attendu que l'un et l'autre passent par l'axe des a". De plus, ces derniers plans ne pourront être, tous les deux à-ia-fois, sensiblement perpendiculaires au plan du triangle PQR. Car, dans ce cas, leur ligne d'intersection, c'est-à-dire, l'axe des ,v ,

formerait nécessairement un anfde très - peu différent de — avec les

droites 7^(7, p~R comprises dans le plan PQR, et par conséquent avec la tangente commune aux deux courbes. Cela posé , il résulte des principes ci-dessus établis que, dans l'hypothèse admise, le contact des diiux courbes projetées, i .° sur le plan des x, y,, 2." sur le plan des -v, i, sera toujours de l'ordre û , ou d'un ordre supérieur, et sur l'un des deux plans au moins, de l'ordre a seulement. On peut donc énoncer la proposition suivante,

3.^ Théorème. Pour obtenir l'ordre de contact de deux courbes qui se touchent en un point 011 la tangente commune ne forme pas un angle droit avec l'axe des x , il suffit de chercher les nombres (]ui indi(]uent les ordres de contact des projections des deux courbes sur le plan des x , y et sur le plan des x , i- Chacun de ces nombres, s'ils sont égaux , ou le plus petit d'entre eux, s'ils sont inégaux , indiquera l'ordre de contact des courbes proposées.

Corollaire i." Le théorème qui précède subsiste également , dans le cas où les variables x,y, i désignent des coordonnées rectangulaires, et dans le cas où ces variables représentent des coordonnées obliques.

Corollaire 2,' Lorsque deux courbes à double courbure se touchent en un point où la tangente ne forme pas un angle droit avec l'axe des .V, la détermination de l'ordre àw contact se trouve réduite par le 3.^ théorème à la recherche de l'ordre de contact de deux courbes planes , c'est-à-dire, à un problème résolu dans la (j.^ leçon.

Corollaire ^^ Supposons que deux courbes, représentées chacune par deux équations entre les coordonnées rectangulaires ou obliques x,y, 1, aient entre elles un point commun correspondant à l'abscisse .v, et en

Aaa

ce point une tangente commune non perpendiculaire à l'axe des x , avec un contact de l'ordre a. Soit d'ailleurs ii le nombre entier égal ou immédiatement supérieur à a. Enfin , admettons que l'on prenne l'abscisse A" pour variable indépendante, et que l'on désigne par /, / , /", . • , Z > Z ' Z • • • • les dérivées successives des variables 7 et :j considérées comme fonctions de x. En vertu du 3.^ théorème, et des principes exposés dans la p.^ leçon , les quantités

' " Cri)

conserveront les mêmes valeurs, pour le point dont il s'agit, dans le passage de la première courbe à la seconde , tandis que chacune des quantités

ou au moins l'une des deux , changera de valeur.

Corollaire ^.'' Lorsque la tangente commune aux deux courbes ne forme pas i\n angle droit avec l'axe des .v, et que l'ordre de contact est un nombre entier, il suffit, pour déterminer cet ordre, de chercher la plus grande valeur qu'on puisse attribuer au nombre entier /;, en choisissant ce nombre de manière que les quantités (8) demeurent toutes invariables pour le point de contact dans le passage d'une courbe à l'autre. Cette valeur de h indique précisément l'ordre demandé.

CoroUûire jj Si la tangente commune aux deux courbes formait un angle droit avec l'axe des x , elle ne pourrait être à-la-fois perpendiculaire au plan des .v, y et au plan des .v , i- Par suite elle formerait

un angle différent de — avec l'axe des / et avec l'axe des i, ou au

moins avec l'un de ces deux axes. Donc, pour déterminer, dans cette hypothèse, l'ordre de contact des deux courbes à l'aide du 3.^ théorème, il suffirait de substituer à l'axe des .v l'axe des y ou l'axe des Z' et de remplacer en même temps le plan des .v , 7 ou des x, y par le plan

des y, Z'

DU CALCUL LNFINITÉSLMAL. 373

Le j.^ théorème, à l'aide duquel on fixe aisément l'ordre de contact de deux courbes planes , peut être remplacé par un autre théorème qui n'est sujet à aucune restriction, et que nous allons établir en peu de mots.

Soit toujours {P) le point commun à deux courbes qui se touchent. Soient encore [Q] , (/?) deux autres points situés sur la première et sur la seconde courbe, également éloignés du point de contact, et dont les distances à ce point se réduisent à une longueur infiniment petite, désignée par /. Enfin , concevons qu'à partir du point {P) on porte sur la seconde courbe un arc PS, qui ait la même longueur que l'arc PQ, cjui soit dirigé dans le même sens, et qui aboutisse au point {S). La sécante ^S, en vertu du théorème 2 de la 16." leçon, sera sensiblement perpendiculaire, ainsi que la sécante QR , à la tangente commune. De plus, la corde ï?ï', étant comprise entre deux points de la seconde courbe très-rapprochés du point de contact, sera sensiblemen parallèle à cette tangente. Par conséquent, dans le triangle rectiligne QRS , les côtés ^7^ et ^S fijrmeront avec le troisième côté KS des angles dont chacun différera très -peu d'un angle droit. Donc le rapport entre les deux premiers côtés, ou, ce qui revient au même, le rapport entre les sinus des angles opposés, différera très-peu de l'unité; et l'on aura, en désignant par / une quantité infiniment petite ,

(10) Q^= Ô^ (H-/) = (i -h/) 2/sin-^. .

D'autre part, comme le rapport entre l'arc PQ et la corde PQ = i aura pour limite l'unité, on trouvera encore, en désignant par / une quantité infiniment petite,

(11) arc PQ = {i -h- J)i.

Cela posé, admettons que , les deux courbes ayant entre elles un contact de l'ordre û, l'on considère le rayon vecteur / comme un infiniment petit du premier ordre. 11 est clair que l'arc PQ sera encore un infiniment

petit du premier ordre , tandis que la distance ^ï' sera de l'ordre ï/-f-i. Ajoutons que l'ordre de cette distance ne variera pas [voyei le 3.^ corollaire du lemme 4 de la p/ leçon], si l'on prend pour base l'arc PQ ou une quantité telle que l'arc PQ reste infiniment petit du premier ordre. Ces remarques suffisent pour établir le nouveau théorème que nous allons énoncer,

4.* Théorème. Pour obtenir l'ordre du contact de deux courbes cjui se touchent en un point donne' , il suffit de chercher le nombre qui repre'seute l'ordre de la distance infiniment petite comprise entre les extrémités de deux longueurs égales porte'es sur les deux courbes à partir du point de contact , dans le cas où ces mêmes longueurs deviennent infiniment petites du premier ordre. Le nombre dont il s'agit , diminue' d'une unité , indique toujours l'ordre du contact.

Corollaire t." Soit i la quantité infiniment petite qui représente chacune des deux longueurs mentionnées dans le 4-" théorème. Désignons en outre par x,y,i et par ^, vi, ^ les coordonnées des points auxquels ces longueurs aboutissent sur la première et la seconde courbe. Enfin , soit

la longueur de la droite menée du point (^, y\ , ^) au point (v,^',^). Si Ion considère /' comme un infiniment petit du premier ordre, et si l'on appelle a l'ordre de contact des deux courbes, la distance v sera [en vertu du 3 ." théorème ] un infiniment petit de l'ordre a-\-\. Par suite, le carré de cette distance, ou la somme

(13) {=^-ir -^[y-^Y-^ki-Q^

sera un infiniment petit de l'ordre 2c7-+-2, ce qui exige que des trois différences

l'une au moins soit de l'ordre a-V- \ , les deux autres étant du même

ordre ou d'un ordre plus élevé. On arriverait à la inéine coiuljsioa en observant que les valeurs numéiiques des expressions (i4) représentent les projections de la distance i^ sur les axes des x , y et ^. En effet , il est aisé de reconnaître ç^\\une distance injiniment petite et sa projection sur un axe <juelconque sont en général des quantités de même ordre. Seulement l'ordre de la projection peut surpasser l'ordre de la distance , dans le cas oh celle-ci devient sensiblement perpendiculaire à l'axe. Mais il est clair que cette dernière condition ne saurait être remplie à -la-fois pour les trois axes des X , des / , et des 1.

■ Corollaire 2/ Conservons les mêmes notations que dans le corollaire précédent. Soit toujours a l'ordre de contact des deux courbes données , et désignons par // le nombre entier égal ou immédiaiement supérieur à a. Puisque, la quantité / étant regardée comme infiniment petite du premier ordre, l'une des trois différences

devra être de l'ordre a-\-i , les deux autres étant du même ordre ou d'un ordre plus élevé ; il résulte de ce qui a été dit dans la p.' leçon [pages 122 et 123] que, si l'on prend /' pour variable indépendante.

di '

d{y->^) di '

ri;

di'

di"

di' ' dr

s'évanouiront avec /, tandis que chacune des dérivées (16)

di'^' di"*' ' di"^

ou du moins l'une d'entre elles, cessera de s'évanouir pour i—o. Soient d'ailleurs s et ^ les arcs renfermés, i .° entre un point fixe de la première des courbes données et le point mobile [xiy. z) ' -•" ^ft^^ "" point

de la seconde courbe et le point (^, »i, (^) ; et admettons que ces nouveaux arcs soient dirigés dans le même sens que l'arc /, Comme les trois variables /', s et i différeront entre elles de quantités constantes, on aura

(17) di z=i ds ■=z de,;

et l'on pourra prendre pour variable indépendante, quand il s'agira de la première courbe, s au lieu de i ; quand il s'agira de la seconde courbe, c, au lieu de /'. Cela posé, les expressions (15) et (16) deviendront respectivement

'"^ Ç ' ~Ts TT ' ~d?- ~d~^ ' TF dV '

dy d r\ d'y d^ r d" y 4° «

(i8) ^ 7 ^ ' 'Ts 77'~d? ~TF T^~"7Z'

2 ^ ' ds dç ^ ds' d r ' ds" dr '

( ) Sl^-J-11- £2Li__Al:li J21^12LL

En égalant les quantités (i8) à zéro, l'on formera les équations

y dx dl d'x d'^ d" X __ d" ^

■''' — ^ ' IjT " "77 ' TF ~ ir?' ' ds" "" ~dV~ '

dy dn d'y ^ <^^ " ^"y d" r\

~ "dV ' ds- ~ YT' ' ds" ~ 'dT' '

ds d ç "" ds' di' ' ds" dç' '

qui devront toutes se vérifier par le point de contact des courbes proposées, tandis que, pour le même point, chacune des expressions (ip), ou au moins l'une d'entre elles, obtiendra une valeur différente de zéro. Si maintenant on observe qu'on peut sans inconvénient substituer , quand il s'agit de la seconde courbe, les lettres .v . y, i ei s aux lettres ^, 1, (^ et <;, on arrivera immédiatement au théorème que nous allons énoncer.

DU CALCUL INFINITESLMAL. 377

5/ Théorème. Etant proposées deux courbes qui se touchent en un point, si ion considère les coordonnées x . }' . Z ^^ chacune d'elles comme des fonctions de l'arc s pris pour variable indépendante , et si ion suppose cet arc compté sur chaque courbe de telle manière qu'il se prolonge dans te même sens pour les deux courbes au-delà du point de contact ; non-seulement, pour le point dont il s'agit , les variables x , y, i, et leurs dérivées du premier ordre

ne changeront pas de valeur dans le passage de la première courbe à la seconde, mais il en sera encore de même des dérivées successives

d s^ ds' d s^- ds-' ds'- ds^

Jusqu'à celles dont iordre sera indiqué par le nombre entier égal ou immédiatement supérieur à iordre du contact. Celles - ci seront les dernières qui rempliront la condition énoncée , en sorte que les trois suivantes , ou au moins iune des trois , changeront de valeur , quand on passera d'une courba a 1 autre. Corollaire 1." Si les Jeux courbes ont entre elles un contact de l'ordre //, n désignant un nombre entier, alors, dans le passage de la première courbe à la seconde, chacune des quantités

dx d X d"

ds ' ds- ' •■••••• T.

di d^i d^i