TT

ds- d

conservera la même valeur pour le point de contact, tandis que chacune des trois dérivées

ds-'+' ' ds"-*-' ' d s^+'

ou au moins l'une des trois, prendra une valeur nouvelle.

Leçons de AI. Cauchy. i .^ Aance. B b b

Corollaire 2.' Soit

une fonction quelconque des trois variables x, y, z. Si l'on considère ces variables elles-mêmes comme des fonctions de s propres à repré- . senter les coordonnées de la première ou de la seconde courbe , r deviendra pareillement fonction de J , et l'on trouvera

dg{x,y,i) ^x ds'

d:f{x,y,i) dy dy ds

dx d s' dy ds

dx' UW 'Jy wJ

d'^(x,y,z) dydi

d^[x,y,i) di di ds

dê[x,y,i) d'i ds'

dy/i^ dsds

dr dy

d s ds

d'^[x,y,t, /dzy

ds' \dsj

, d^^[x,y,Z\ dxdy

~ dx dy ds ds

Sic.

dS[y,y.z) d\r , d:?{x,y,z) d"

dHx,y,i) d\ \ ds dx ds dy ds dz ds

Or de ces dernières équations jointes au théorème i ." il résulte que, si les deux courbes proposées ont entre elles un contact de l'ordre n , chacune des quantités

- . dr di{x,yrà d'r£^[x^^ d'r d"g{x,y,i)

(25) r=^{x,y,z),^T^ — Ts — ' TF" — d7^~' '-■ 'd7^-'~7? — '

conservera la même valeur pour le point de contact , dans le passage de la première courbe à la seconde. C'est ce qui arrivera, par exemple, si l'on prend pour r le rayon vecteur mené de l'origine au point (.v,;', i) et déterminé par la formule

Ajoutons que la dérivée

DU CALCUL INFINITESLMAL. 379

déterminée par l'équation

^ t </j"+i dx ds"+' dy ds"+' di ds'+'

changera ordinairement de valeur quand on passera de ia première courbe à la seconde, parce que chacune des expressions (22) , ou au moins l'une des trois , prendra une valeur nouvelle. Néanmoins le contraire pourrait avoir lieu dans certains cas particuliers, par exemple, si les valeurs de x , y , i relatives au point de contact réduisaient a zéro, dans le second membre de la formule (28), les coefficiens des expressions (22) , ou au moins le coefficient de celle dont la valeur changerait. La même remarque s'applique aux dérivées

. V el''+^r d'+'T

Corolhiire j.' Cojicevons maintenant que l'on veuille prendre, au lieu de s, la quantité r = ^[x,)', i) pour variable indépendante. Alors on pourra concevoir que, les coordonnées x,y, 1 étant toujours fonction de s, s devienne fonction de r; et l'on tirera de l'équation (23), différenciée plusieurs fois par rapport à r ,

di[x,y,-^) ds

' ds d^

d^{x,y,^) d^ d'-^{x,y,i] / ds y

° ds dr^ ~^ ds- \ dr )

ds d r°

Or des formules (30) réunies au corollaire 2 il résulte que, si les deux courbes proposées ont entre elles un contact de l'ordre n, les quantités

(3O "77' -TTT' ^^ -77^

^8o APLPICATIONS GEOMETRIQUES

conserveront en général les mêmes valeurs relatives au point de contact, quand on passera de la première courbe à la seconde. En substituant ces valeurs dans les équations

!dx dK ds d'x dx d's d^xfds^ „ d'x dxd"s „

dr ds dr ds' ds dr"- ds-\dr) d r" ds dr"

dy dy ds d^y __ dy d' s dy/dsy dy dy d" s

dr dsdr ds- ds dr ds-\drj dr" dsds"

^i^dz^/ii^^ti^ iir'iv, &c... ti^^itL^ &c... , dr dsdr d s' dsdr' ds-\drj dr" dsdr"

et ayant égard au corollaire i /'' , on parviendra aux conclusions suivantes.

Si les deux courbes proposées ont entre elles un contact de l'ordre 11, et si l'on prend rz=.J[x,y, i) pour variable indépendante, nonseulement les coordonnées x,y, i, mais encore leurs dérivées jusqu'à celles de l'ordre //, savoir ,

dx d'x d^ X d'x

1T ' dr^ ' "TTT ' dr" "*

dy d'y d} y d'-y

1T ' ~d7^ ' dr' ' dr-

dl d'z d^i d"i

d r d r- dr'> d r"

conserveront généralement les mêmes valeurs relatives au point de contact, quand on passera de la première courbe à la seconde. On doit toutefois excepter certains cas particuliers , dans lesquels les valeurs des expressions (33), ou de quelques-unes d'entre elles, tirées des formules (30) et (32), se présenteraient, pour l'une et l'autre courbe, sous la

... .,0 00 .. , .ji

forme indéterminée — ou — -, et varieraient néanmoins dans le passage

d'une courbe à l'autre. Dans tous les autres cas, le corollaire i ."" ne cessera pas d'être vrai , si à la variable s on substitue la variable r liée par une équation finie quelconque aux coordonnées x,y, i- Seulement,

DU CALCUL INFINITÉSLMAL. 3 8 i

après cette substitution, l'on ne pourra pas toujours affirmer que, pour le point de contact, l'une au moins des trois dérivées

d"-^' X df^'

d''+' y dr'-+^

dr"+'

change de vaieia- dans le passage de la première courbe à la seconde.

Corollaire ^/ Supposons que, l'ordre du contact des deux courbes données étant égal à // , on prenne toujours r pour variable indépendante, et que l'on désigne par

de nouvelles fonctions des coordonnées x,y, 1. On aura

dp dp dx dp dy

dr dx

d'' p dp

dr- dx

dr--

' dx-

d y dr dp d- y

dl dr

d- p dy (f^ " dy d-^ dr dr

dy dr- d -^ dr-

d-p Idyy d'p ldi\

dy- \dr} ~^ dl- \dr)

d' p d^ dx

d-^p dp

d^dx dr dr

dp d''y

d' p dx dy dx dy dr dr

dr''

dr"

dy d r"

dr-

-H Sic.

et, comme les expressions (33) conserveront en général les mêmes valeurs, relatives au point de contact, dans le passage de la première caurbe à la seconde , il est clair qu'on pourra en dire autant , nonseulement des fonctions dérivées

JlL.

dr-

^35i dr ' dr- dr"

dont les valeurs seront déterminées par les formules [i^) , mais encore

des différentielles

(3e) Jj} , d^p, tfp.

On arriverait à des conclusions semblables en substituant la fonction -7 à la fonction p. Enfin on pourrait échanger entre elles les quantités p , <] , r de toutes les manières possibles. Ainsi, par exemple, on reconnaîtrait qu'en général les différentielles

f dq , d^q , d'q ,

'"' i Jr. </. ^r,

prises par rapport à la variable p considérée comme indépendante, conservent les mêmes valeurs relatives au point de contact , tandis qu'on passe d'une courbe à l'autre.

Corollaire j/ Rien n'empêche de supposer, dans les corollaires z et i ,

Alors celles des expressions (33) qui renferment la variable x se réduisent la première à l'unité, les autres à zéro, et celles qui renfeiment y ou z deviennent respectivement

Donc', si les deux courbes proposées ont entre elles un contact de l'ordre u , et si l'on prend x pour variable indépendante, non-seulement les coordonnées y, i> '""^'s encore leurs dérivées successives jusqu'à celles de l'ordre // , conserveront en général les mêmes valeurs relatives au peint de contact dans le passage de la première courbe à la seconde. Ajoutons que, dans ce passage, les dérivées de l'ordre ^-hi et les suivantes prendront ordinairement des valeurs nouvelles. Néanmoins le contraire peut avoir lieu dans certains cas particuliers , conformément à l'observation déjà faite [page 143] pour le cas où chacujie des courbes devient plane.

dy dx '

dx^' "•

d'y ■• dx" '

dl dx'

dx^ ' •"

d^Z • ■ dx- '

DU CALCUL INFINITESLVIAL. ^S^

Lorsque la tangente commune aux deux courbes ne forme pas un angle droit avec l'axe des x , chacune des quantités

dx'+' dx"+'-

ou au moins l'une des deux, change nécessairement de valeur dans le passage d'une courbe à l'autre , ainsi qu'on l'a déjà remarqué [ voyei le corollaire 3 du 3.^ théorème].

Nous observerons en finissant qu'on peut toujours choisir l'axe des x de manière qu'il forme avec la tangente commune à deux courbes données un angle différent d'un angle droit. Cela posé, si l'on réunit le corollaire 3 du 3.*^ théorème au théorème i.^'' de la 18."^ leçon, l'on en conclura généralement que deux courbes qui ont entre elles un contact du second ordre ou d'un ordre plus élevé , sont osculatrices l'une de l'autre, et réciproquement que deux courbes osculatrices l'une de l'autre ont toujours entre elles, au point d'osculation , un contact du second ordre ou d'un ordre supérieur à 2.