VINGT-DEUXIÈME LEÇON

Sur les divers Ordres de Contact des Surfaces courbes.

Considérons deux surfaces qui se touchent en un point donné [P). Si par le point [P) on mène un plan normal aux deux surfaces , les deux lignes d'intersection seront tangentes l'une à l'autre ; et si l'on fait tourner ce pian autour de la normale , les deux lignes dont il s'agit changeront en général de position et de forme. Q.uant au nombre qui représentera l'ordre de contact de ces deux lignes, il pourra ou demeurer toujours le même, ou changer de valeur avec la position du pian normal. Or, ce noinbre, quand il est invarial^ie , ou sa vaiem minimum, dans le cas contraire, sert à mesurer ce qu'on appelle ïor/ire de contact des deux surfaces. Soit a cet ordre; et supposons que, les deux surfaces étant coupées par un plan normal quelconque, c'est-à-dire, par uji pian qui renferme la normale commune, on nomme {(2), [R) les points 011 les courbes d'intersection, prolongées dans un certain sens , sont rencontrées par un arc de cercle décrit du point [P) comme centre avec un rayon très -petit désigné par /. Si l'on considère ce rayon comme infiniment petit du premier ordre , la distance i^R , variable avec la position du plan normal, sera elie-même une quantité infiniment petite d'un ordre marqué par un nombre constant ou variable dont a -\- i représentera la valeur unique ou la valeur minimum.

Concevons maintenant que par le point {Q) , situé sur la première surface, on mène ui:e sécante parallèle à une droite qui forme avec le pian tangent commun aux deux surfaces un angle i^ sensiblement différent

de zéro, mais inférieur ou tout au plus égal à -^, et que cette sécante

DU CALCUL L\FL\ITÉS!.ALAL.

coupe [a seconde surface en (S). Dans le triangle QRS, le côté ~RS , sensiblement parallèle au plan tangent , puisqu'il sera compris entre deux points de la seconde surface très-rapprochés du point de contact, formera évidemment avec les côtés QR, QS des angles finis, dont le premier différera très -peu d'un angle droit, tandis cjue le second sera égal ou supérieur à J^. Donc, si l'on désigne par / une quantité infiniment petite, et par A un angle compris entre les limites j^ et -^ 5 on aura

SI

sin A