QR

Or, il résulte de cette dernière formule que la distance infiniment petite QS sera , pour toutes les positions du plan normal , de même ordre que la distance QR. De plus, comme le rapport entre la perpendiculaire abaissée du point {P) sur la droite QS ou sur son prolongement et le rayon vecteur PQ^^ i sera équivalent au sinus de l'angle PQS formé par la droite QS avec une droite PQ sensiblement parallèle au plan tangent, et par conséquent à une quantité finie différente de zéro, cette perpendiculaire sera évidemment une quantité infiniment petite du premier ordre. De ces diverses remarcjues on déduit immédiatement la proposition suivante.

ï." Théorème. L ordre de contact de deux surfaces qui se touchent en un point donne' [P) , est inférieur d'une unité à la valeur unique ou a la valeur mininium du nombre qui représente l'ordre de la distance infiniment petite comprise entre les points (Q), (S) où elles sont rencontrées par une sécante tpui forme avec le plan tangent commun à ces deux surfaces un angle sensible , lorsque l'on considère la distance du point de contact à la sécante dont il s'agit comme un infiniment petit du premier ordre.

Supposons que l'on ait mené par le point [P] un plan quelconque qui forme un angle sensible avec le plan tangent. Ce plan coupera les deux surfaces suivant deux nouvelles courbes. De plus, on pourra con-

Ltçons de AI. Cauchy. i ," Année, C C C

cevoir que la sécante ci -dessus mentionnée coïnciJe avec une droite comprise dans ce même plan ; et alors, en comparant le théorème précédent au 3/ théorème de la p,* leçon , on établira sans peine une proposition que nous allons énoncer.

2.^ Théorème. Lorsque deux surfaces ont entre elles en un point donné un contact de l'ordre a , tout plan normal ou oblique qui forme un angle sensible avec le plan tangent commun a ces deux surfaces , les coupe suivant deux courbes qui ont entre elles un contact de l'ordre a ou d'un ordre supe'rieur.

Il importe d'observer ici, non-seulement que les sections faites dans les deux surfaces, par un plan normal ou oblique qui renferme le point commun , peuvent avoir cjitre elles un contact d'un ordre beaucoup plus élevé que le nombre a , mais qu'elles peuvent même, dans certains cas, se confondre entièrement l'une avec l'autre. Alors le nombre qui 3eprésente l'ordre de contact des deux sections prend une valeur infinie. Ajoutons que ces deux sections se réduisent quelquefois à une seule droite. On peut offrir pour exemple la génératrice commune à deux surfaces coniques ou cylindriques qui se touchent en un point donné.

Si les deux surfaces sont représentées par deux équations entre les coordonnées rectiiignes x, y, 1, et si le pian tangent mené par le point commun n'est pas sensiblement parallèle à l'axe des i, alors, en supposant la sécante QS parallèle à ce même axe, on déduira immédiatement du théorème i ."■ la proposition suivante.

j.'' Théorème. Pour obtenir l'ordre de contact de deux surfaces qui se louchent en un point où le plan tangent n'est pas parallèle a l'axe des i, il sujpt de mener une ordonnée très - voisine du point de contact , et de chercher la valeur unique ou la valeur minimum du nombre constant ou variable qui représente l'ordre de la portion infiniment petite d'ordonnée comprise entre les deux surfaces , dans le cas où l'on considère la distance du point de contact à l'ordonnée comme infiniment petite du premier ordre. Cette valeur unique , ou cette valeur minimum , diminuée d'une unité, indique l'ordre du contact.

DU CALCUL INFINITÉSL\L\L. 3 87

Corollaire //'' Soient

les équations des deux surfaces courbes. Elles auront un point commun correspondant à un système de valeurs données des variables x,y , et en ce point un plan tangent commun, non parallèle à l'axe des 1 [voypi la 16/ leçon, page 290], si, pour les valeurs proposées de x, y, les formules (1) et (2) fournissent des valeurs égales et finies, non-seule-

ment de l'ordonnée 2> mais encore de ses dérivées partielles p ^z--p- ■> (] z=i —~ 5 en sorte que les équations

,> dfjx^y) dF{x,v) df{x,y) dF{x,y)

^^1 dx dx ' dy dy

soient vérifiées, et que les deux membres de chacune d'elles conservent des valeurs finies. Dans cette hypothèse, la différence

qui s'évanouira pour les valeurs de .v et de y relatives au point commun , deviendra infiniment petite, quand les variables x,y recevront des accroissemens infiniment petits A.v, ù^y ; et, si l'on considère la distance

comme érant un infiniinent petit du premier ordre, l'ordre de la quantité infiniment petite, qui représentera la nouvelle valeur de

surpassera d'une unité l'ordre de contact des deux surfaces. Il importe d'ailleurs d'observer que l'expression (<5) sera une quantité infiniment petite du premier ordre, si chacun des accroissemens Aat, ^y est un

ccc'^

388 APPLICATIONS GÉOMETPvIQUES

infiniment petit de cet ordre , ou si l'un d'eux est du premier ordre ,' l'autre étant nul ou d'un ordre supérieur.

Corollaire 2/ Si les deux surfaces se touchent en un point de l'axe des 1, mais de manière que cet axe ne soit pas renfermé dans le plan tangent mené par le point de contact, il suffira, d'après ce qu'on vient de dire, pour déterminer l'ordre du contact, de chercher le nombre qui indiquera l'ordre de la différence F{.x , y) — f{x , y) y en considérant les deux variables x, y comme des infiniment petits du premier ordre, et de diminuer ce nombre d'une unité. En opérant ainsi, on reconnaîtra que les quatre surfaces représentées par les quatre équations

ont toutes entre elles , à l'origine des coordonnées, un contact du premier ordre, tandis qu'au même point les deux surfaces

iz=x^-^y\ i = x''-^' ~\-y"^' , ont un contact de l'ordre 11, et les deux surfaces

il s j

l = x'-\-y\ i=ix~^-\-y~\

im contact de l'ordre — 1 m — •

Corollaire j.' Supposons que les surfaces (i) et (2) aient un point commun correspondant aux coordonnées a-, y, et en ce point un plan tangent commun, non parallèle à l'axe des i, avec un contact de l'ordre a ; soit d'ailleurs // le nombre entier égal ou immédiatement supérieur à lU La différence

s évanouira; et, si l'on désigne par A.v, à.y des accroissemens infiniment petits du premier ordre attribués aux coordonnées x, y, l'expression

(7) /^(.v-4-Aa-, y-^Ay) —f{x-i-Ax, y-i-ùy)

DU CALCUL INFINITÉSLMAL. 389

sera [en vertu du corollaire i/''] un infiniment petit de l'ordre ^-+-1. D'ailleurs , pour que les accroissemens A.v, Ay soient infiniment petits du premier ordre, il suffira de prendre

(8) A X =: ai d X , Ay ■=. a.dy ,

en désignant par et une quantité infiniment petite du premier ordre, et en donnant aux différentielles dx , dy des valeurs finies. Alors l'expression (7) se présentera sous la forme

(9) F{x-^ctdx, y-i-ccdy) — /{x-^etdx, y-i-abdy).

Donc , si l'on considère la variable et comme infiniment petite du premier ordre, l'expression (5)) sera, dans l'hypothèse admise, un infiniment petit de l'ordre d-\-i, quelles que soient d'ailleurs les valeurs finies attribuées aux différentielles dx et dy.

Concevons maintenant que l'on pose, pour abréger,

(10) F{x~t-cLdx, y-i-aidy) — f{x-i-ci,dx,y-^ctdy)=z-\/{aL).

En vertu de ce qui a été dit [page 123]. 4''^"'*" ' (et) sera la première des fonctions dérivées

4(a), +'(ct). 4'"('t), &C..T.-

qui cessera de s'évanouir avec au; en d'autres termes, 4/'""*"'''(o) sera la première des quantités

4^(0), 4'(°)' 4"(o). Sec...

qui obtiendra une valeur différente de zéro. On aura donc

(11) '\^{o) = 0, 4''(0) = 0, .y{o)=ZO, ... ^[.''"'(o) = 0.

D'ailleurs, en ayant égard aux principes établis dans la i4-' leçon de calcul infinitésimal, on trouvera

4(o)= F{x,y)-.f{x,y), ^'{o)=dF{x,y)-df{s,y), (12) l ^"{o)=d^F{x,y)—d^-f{x,y),

Donc on aura, pour le point commun aux deux surfaces,

F{x,y) =zf{x,y), dF{x,y) = df{x,y), ('3) { d^F{x,y)=d-f{x,y),

ou, ce qui revient au même,

dx^

d'-fi'^.y]

dx'

dx dy dx dy

dy"-

dxdy-^-^^I^dy^,

Il^dx^-^^-Ç^dx^-Uy

dx^ ^^ I dx^-'dy -^

\ dx l dx ^ dy ''

àf

Ces dernières formules, devant suîjsister , quelles que soient les valeurs finies attribuées aux différentielles dx , dy , entraîneront évidemment Jes équations

DU CALCUL LNFINITÉSLMAL. ^^I

dF[x,y) __ df[x,y) dF{x,y) dfjx.y) ^

dx dx dy dy

dx"- dx'- ' dx dy dx dy ' d y'- dy^ '

d^Fjx.y) Jlfyyy) d-'F[x,y) __ dy{x,y)

dx" dx" ' dx"-' dy dx"-' dy ' ' '"

' ■ ■ dxdy"-' dxdy"-' ' dy" dy"

Par conséquent , lorsque deux surfaces se touchent en un jioint où le plan tangent n'est pas parallèle à l'axe des i, non-seulement pour le point dont il s'agit, l'ordonnée z, considérée comme fonction des deux variables indépendantes x , y , et ses dérivées partielles du premier ordre , savoir ,

ne changent pas de valeurs dans le passage de la première surface à la seconde , mais il en est encore de même des dérivées partielles

dx' dxdy dy^

d x> dx'^ dy dxdy'' dyi

jusqu'à celles dont l'ordre co'incide avec le nombre entier égal ou immédiatement sïpérieur à l'ordre du contact : en d'autres termes, si l'on désigne par /; ce nombre entier , l'ordonnée i et ses différentielles totales des divers ordres jusqu'à celle de l'ordre //, c'est-à-dire, les quantités

conserveront les incmes valeurs dans le passage de la première surface à la seconde , quelles que soient les valeurs assignées aux Jifférentielles dx , dy des variables indépendantes.

Corollaire ^/ Si , les deux surfaces ayant un contact de l'ordre c , le plan tangent commun devenait parallèle à l'axe des i, alors, en attribuant aux valeurs des coordonnées x , y qui se rapportent au point/ de contact des accroîssemens infiniment petits du premier ordre, on ne trouverait pas généralement pour les valeurs correspondantes de L. différence

un infiniment petit de l'ordre a-\-\. Néanmoins, on pourrait encore déterminer l'ordre du contact par la méthode dont nous avons fait usage, en substituant l'une des variables x,y à la variable i- Ainsi, par exemple , pour montrer que les deux surfaces

2 = xT(i/)3, i — x~^[x-y^)'^,

qui touchent à l'origine le plan des y, i, ont en ce point un contac du second ordre, il suffira d'observer que leurs équations résolues p rapport à x prennent les formes

et que la différence

est un infiniment petit du troisième ordre, quand on coisidère / et i comme des infiniment petits du premier ordre. Qiiant .1 la différence f[x,y) — f{x, y) , elle se réduit dans cet exemple à

et lorsque l'on considère x et y comme des infiniment petits du premie^

APPLIC. GÉOM. DU CALC. INFINIT. 39 3

ordre , elle est une quantité infiniment petite , non plus du second ordre, mais de l'ordre — seulement.

Corollaire ^.' Lorsque le plan tangent commun aux deux surfaces n'est pas parallèle à l'axe des i, et que l'ordre du contact est un nombre entier , il suffit, pour déterminer cet ordre, de chercher quelle est la dernière des équations

[iç)) f{x,y)=f{x,y), Jf{x,y) = J/{x,y), d^F{x, y) = cl^f{x. y) , &c.

qui se trouve véritiée pour le point de contact , indépendamment des valeurs attribuées aux ditFérentielies ^x , dy des variables indépendantes. L'ordre des différentielles totales comprises dans cette dernière équation sera précisément l'ordre demandé.

Nous observerons en finissant qu'on peut toujours choisir pour axe des i un axe qui ne soit pas parallèle au plan tangent mené par le point de contact de deux surfaces. Cela posé, si l'on réunit le corollaire 3 du 3.^ théorème au théorème 2 de la 20.' leçon , l'on en conclura généralement que deux surfaces qui ont entre elles un contact du second ordre ou d'un ordre plus élevé sont osculatrices lune de l'autre; et réciproquement, que deux surfaces osculatrices l'une de l'autre ont toujours entre elles , au point d'osculation , un contact du second ordre ou d'un ordre supérieur à 2.

FJiN DU TOME PREMIER.

Leçeits de M. Caschy. i ." Année. d JJ

ERRATA