COS /A

cos V : — . . j. — .

sin <^V. To r, sin <Pi

De plus, l'angle ÇOP , com^xh entre le rayon vecteur r^ et le demiaxe 0,/*, étant un angle aigu, son cosinus sera positif, et par conséquent égal au sinus de l'angle aigu ou obtus s, , compris entre le même rayon vecteur r^ et le plan OAB perpendiculaire au demi -axe OP, Ojî, aura donc

sin e, ::= cos [COP):=. cos ctp cos A -f- cos/3o cos/m. -f- cos y. cos» ;

sin </^j

cos y a COS a, — cos 7,

, cos a,.

sin J^z

coscto cos (il — cosa,

cos/îo

— 7>îo

sin J^i

— ^,Xo

sin t/^j

— Xiy„

puis, en substituant aux quantitc's cos A , tos/x-, cos v , leurs valeurs tirées des équations (84). on trouvera

(85) sin e, =r

coS(ïoCos/î,cos>j-cosaoCos,3jCos>-,+cosa,cos"2Cos>-o-cosaiCos/î„cos>-.,-Hros«^cos/î<,cosj',-co5a,cos3,cos>» ^ojf, Z, — *o^, Z, -h x,j\'^ z, — Af.^'o r^ -H *, Jo Z, — *î^', Jo

To r^ r^ sin i/^.

Pour déduire de la formule précédente les valeurs de sin So et de sin g, , il suffira de remplacer successivement la quantité sin J^, par sin J^o et sin c^,. On obtiendra par ce moyen deux équations nouvelles, qui seront, ainsi que l'équation (85), comprises dans la formule

{S6) sin J^o sin Êo = sin J\, sine, ziz: sin J^j sin g^ zrr

CO$aoCos^,a)s>'j-cosaoCos^^cos>-,-H:osa,cos/îjCos^o-cosa,cos/3oCos>-j+cosajCOSi8oCos>-,-cosaiCos;S,cos>'<,,

OU, ce qui revient au même, dans ia suivante :

[ To r, r, sin <^o sin £„ = r^ r, r, sin <A, sin g, zzr To r, r^ sin J^, sin g. (S7)

Quant au volume de la pyramide triangulaire OABC , il sera équivalent à la surface du triangle OAB , c'est-à-dire, à l'expression

— To r, sin J^^ ,

multipliée par le tiers de fa perpendiculaire abaissée du point C sur le plan de ce triangle. Or, cette perpendiculaire étant évidemment représentée par le produit

r, cos [COP] z= r sin J^» r

il en résulte que le volume cherché aura pour mesure la quantité

z8 PRÉLIMINAIRES.

(88) -^ To r, r^ sin J^^ sin e^ ,

à laquelle on peut substituer l'expression

Pour obtenir avec leurs signes les termes compris entre parenthèses dans cette dernière formule, il suffit de multiplier l'un par l'autre les trois facteurs x,y, 1, en les écrivant dans l'ordre naturel qui indique le mouvement de rotation direct d'un rayon mobile assujetti à parcourir successivement les trois faces de l'angle solide formé par les demiaxes des coordonnées positives , puis de placer au bas de ces facteurs les indices o, \, 1, rangés dans un ordre quelconque. En formant toutes les combinaisons possibles, on obtiendra six produits différens, dont chacun devra être pris avec le signe -j- ou avec le signe — , suivant que l'ordre dans lequel se trouveront disposés les trois nombres o , I , 2 , indiquera un mouvement direct ou rétrograde d'un rayon vecteur mobile assujetti à parcourir successivement les trois faces de l'angle solide OABC. La même règle s'applique à la détermination des signes des termes compris dans le second membre de la formule (86), quand on substitue aux facteurs A', ^, 1, les facteurs cos et, cos/3, cosy. Ajoutons que cette règle, à laquelle nous sommes parvenus en supposant qu'un rayon mobile, assujetti à parcourir avec un mouvement de rotation direct les trois faces de l'angle solide OABC, rencontrait les rayons vecteurs r^ , r, , r, dans l'ordre indiqué par la combinaison O , I , 2. , subsisterait également , si l'on admettait la supposition contraire. Alors , en effet, les valeurs de cos A, cos /x. , cosv venant à changer de signe \voyei le problème précédent], l'expression (8p) et les seconds membres des formules (86), (87) en changeraient aussi , de manière que les termes précédemment affectés du signe -+-, le terme *o yt Zi, par exemple, se trouveraient affectés du signe — . Mais il est clair que, dans la nouvelle supposition, la combinaison o, 1,2, au

lieu d'indiquer un mouvement de rotation direct sur les faces de l'angle solide OABC , indiquerait un mouvement de rotation rétrograde.

Corolhiire //'' Le parallélipipède dans lequel trois arêtes coïncident avec les rayons vecteurs To, r, , r, , a un volume six fois plus grand que celui de la pyramide- Oy^^C", et par conséquent égal à la valeur numérique du polynôme

(po) x,y,i^—x,y,z, H-.v,7,2o'-A-,>',2, -^ ^•<^y.^.—x,y,Zo' Corolhïlre 2.' La formule (8(5) fournit le moyen de transformer les coordonnées rectangulaires .v, y , 1 d'un point quelconque de l'espace en coordonnées reciilignes ^, n, <^ comptées positivement sur les demiaxes OA. OB , OC, c'est-à-dire, sur les rayons vecteurs r,, , r, , r^. En effet, soit r le rayon vecteur mené de l'origine au point {x.y, z) y et supposons les rayons vecteurs r^, r, , r^ disposés comme ils doivent l'être pour que la formule (8^) subsiste. Alors, si les rayons vecteurs fot r sont situés du même côté du plan OAB, l'expression qu'on obtiendra en divisant par sin J^„ le second membre de la formule (86), et

remplaçant dans ce second membre cos o,^ par — > cos /3^ par -^ , C05 Vo par -^ , savoir ,

/ « ^■(cosfliCOS'yi— cosS:COS')',)-i->'(cos7,co?ai— cos')'2Cosa,)-(--{cosa,cos/3j— cofajCO?/3,) ^p ) . r sia ^, '

représentera, le sinus de l'angle formé par le rayon vecteur r avec le plan BOC , et le produit de cette expression par r, savoir,

, . X (cosiS^cos-)-!— cos/2jcos7,)-i-y(cos7,cosa,— cos-)'2Cosa,)-i--(cosa;,cosôi— cos(ï,coç/î J

désignera la perpendiculaire abaissée du point (.v, y, z) sur le plan dont il s'agit. Les expressions (cji) et (92) représenteraient le même sinus et la même perpendiculaire, pris avec le signe — , si le rayon vecteur r

n'était plus situé par rapport au plan BOC du même côté quô lé rayon vecteur r^. De plus, il est facile de s'assurer que le produit

(93) l sin 6,

représentera encore fa perpendiculaire en question , prise avec le signe -t- dans le premier cas, et avec le signe — dans le second. Cela posé, en égalant l'expression (pz) au produit (pj), on trouvera

X ( cos/î,cos7i — cos/SiCos^, ) -Hj> ( cos> ,co?a2 — cos'XiCOsa, ) -H^ ( cosa,co?iSi — cosaiCos/3, )

sin J^a sin {„

Après avoir ainsi. calculé la valeur de %, on formera de la même manière les valeurs des coordonnées n et ^; puis, en ayant égard à la formule (86), et faisant, pour abréger,

cosaoCos/î,cos>-.j-cosaoCos/î^co5>';+cosa,cos/3^cos>-o-cosa,cosi5oCos>-j+cos(»jCos/3oCOS>-,-cos«jCOS/3,coS>', ,

on obtiendra les équations

i(roîô,rosj'j— co</î,cosj-,)-H;'(co5j',cosaj — cosj'jCosa,)-l-j(cosa,cos/8,— cosa^cosyS,)

D ^(cosiâjCosj-c, — cos/î„cos>-j)-t-^'(cos>-jCosa(,— co->-oCosa,)-t- j^(co5a ,ro?/3„ — cos«oCos/&j)

*(cosi3„cosj-,— co</3,co^?-„) -!-)'( co5j-<,cosa,—co5>, cosoto) -H j(co';a„cis/î, — cosa.cosjSo)

qui déterminent ^, >i, ^ en fonctions à& x , y , 1, et réciproquement. Dans la supposition que nous avons admise pour établir ces équations, les mouvemens de rotation directs, sur les faces de l'angle solide formé par les demi -axes des coordonnées positives, ne changent pas de nature, lorsqu'au système des coordonnées rectangulaires x,y, 1 on substitue le système des coordonnées obliques ^, rt, ^; et le mouvement de rotation direct dans chacun des plans coordonnés autour du demi-

PRÉLIMINAIRES. 3 l

axe perpendiculaire à ce plan est, pour les deux systèmes à-ia-fois, ou un mouvement de droite à gauche , ou un mouvement de gauche à droite. Dans la supposition contraire, le dernier membre de la formule {86) changerait de signe. Mais, comme le numérateur de la fraction comprise dans le second membre de la formule (94) ^ii changerait aussi, on déduirait toujours de ces deux formules combinées la première des équations (96). Par conséquent, les formules (96), dans lesquelles la quantité D est déterminée par l'équation (95), subsistent, quelle que soit , dans chacun des deux systèmes de coordonnées , la disposition des demi-axes des coordonnées positives.

Pour éliminer des équations {p6) les quantités y et ^^ i^ suffit d'ajouter ces équations , après les avoir respectivement multipliées par ces cto , cos ce,, cos <t,. En opérant ainsi , et ayant égard à la formule (pj) , on trouvera

r X :=r ^ cos cL^ -+- Yi cos CL, -+- (^ cos ot^. On trouvera de même (p7 ) / y = ^ cos /3^ -f- n cos /3, -f- ^ cos /3^ , [ ^ ::::= ^ cos Va H- « cos y , -H <^ cos y^.

Ces dernières formules pourraient être établies directement par la simple considération du rayon vecteur r successivement projeté sur les trois axes des .v, y, 1. Elles ne diffèrent pas des formules [62), qui se trouvent ainsi étendues au cas même où il s'agit de remplacer un système de coordonnées rectangulaires par un système de coordonnées obliques.

Corol/ûire j/ La formule (86) subsiste évidemment, quel que soit le point auquel aboutissent les trois rayons vecteurs r„ , r, , r^ , et dans le cas même où ce point ne coïncide pas avec l'origine des coordonnées.

Corollaire ^.' Si les rayons vecteurs r„, r, , r,, au lieu d'aboutir à un point unique , aboutissaient à trois points différens de l'espace , chacune des trois quantités

sin £„ , sin e, , sin e, ,

déterminées par la formule (8^), représenterait le sinus de l'angle que

forme un de ces rayons vecteurs avec un plan parallèle aux deux autres.

Corolhiire j.' Lorsque les rayons vecteurs r„ , r, , r^ sont perpendiculaires l'un à l'autre, les quantités et^, a^, , a.^, fi^ . . . &c. vérifient les équations {6^) et [6,^). En même temps, chacun des angles

se réduit à un angle droit; et, en supposant les rayons vecteurs r„, r,, r, disposés comme ils doivent l'être pour que la formule (86) subsiste, on tire de cette formule

cosa„cosj3,cos>'.-cosa„cos/5,cos>-,+cosa,cos/îjCos>-o-co5a,cosi3oCos>-j+cos«^cos/îoCos>-,-cosa^cos^,cosj', .

Si l'on adoptait la supposition contraire, le dernier membre de la formule (86) changerait de signe, et l'on trouverait

-co5a,coslitCOi}'^+coia.^cosfi^cosyi-coia.,costi^coiyo+cosd,coifi„cos>^-cosa^cosP),cosj't+co$a^cosP>,co!}'m-

Les formules (p8) et (pp) sont comprises l'une et l'autre dans la suivante (100) I =:

(cosaoCosiî,cos)-j-cos<«oCos/SjCos>,-H:os«,cos/3^cos>-o-cos*,cos^oCos>',+cosa^cos0oCO5>,-cosa^co$/3,cos>'o)*,

à laquelle on peut arriver directement, en combinant ensemble les équations {6^) et {64).

7.' Problème. Trouver la plus courte distance entre la droite mene'e par Je point [x^yy^, 2„) de manière à former avec les demi -axes des coordonne'es positives les angles et^ , /3„ , 7„ , et la droite menée par le point [Xi, y,, 2.) de manière à former avec les mêmes demi- axes les angles «-,. /3., y..

Solution. Soit r le rayon vecteur mené du point {x^", y^'t zO au point {Xi, y,, <;, ). Soit de plus ^ l'angle compris entre les droites données, chacune étant prolongée dans le sens que déterminent les valeurs des angles ct^, /3^, y^, ou et,, /3,, y, ; et nommons £ l'angle formé par le rayon vecteur r avec un plan parallèle aux deux droites. Le produit

sin J^.sin s

\voyei ie problème précédent et son 3.* corollaire] sera équivalent, au signe près, à la quantité qu'on obtient en remplaçant, dans le dernier membre de la formule (86),

ces et j par > cos Pi par "^ —j ces y^ par

Oh aura en conséquence

(loi) sîn g =

I (j:,— jr„)(cos/SoCos>-,-cos/î,cosj'o)-(-C''i— '■o)(cos>'oCosa,-cos>-,cosao)-t-(r,— 7o)(cosaoCos/3,-co5<»,coS;3„)

ZiZ : — ;; •

r sin J^

D'ailleurs , si , après avoir mené un plan parallèle aux deux droites données , on projette le rayon vecteur r sur un axe perpendiculaire à ce plan, ia projection, représentée par le produit rsin e, sera évidemment égale en longueur à la plus courte distance entre ies deux droites. Donc cette plus courte distance sera déterminée par la formule

(102) r sin Ê =:

d: [ (jf ,-jro)(cosj3„cos;'.— cos/î,cos>,,)-t-(^,^'„)(cos>acos(t,— cos>-,cos« J-t-(j,-jo)(cosa„co$/S,— cosa,co5/3o) ].

Pour savoir si le dernier membre de cette formule doit être affecté du signe -f- ou du signe — , il suffira de mener par le point (a-^./o. Zo) deux demi-axes qui forment avec ceux des coordonnées positives , fe premier les angles et,, ^^, y,, le second les angles et,, /3,, y,, et

Uftns dt M. Cattchj>. i.™ Année, £

j4 PRELIMÎN AIRES.

d'examiner si un rayon vecteur mobile, qui décrirait i'angfç coirîprîs entre ces deux demi -axes di manicre ù rencontrer ie premier avant le second , aura , autour du rayon yecteur r , un mouvement de rotation direct ou rétrograde.

Corollaire. Lorsque les droites données se rencontrent , leur plus courte distance s'évanouit , et l'on a par suite

( s-, — 5f„ ; ( COS,% COS V, — COS^j COSy^ )

-*-(>'' ~7o) (cos^^cosa, — cosy, cosaj

APPLlCr' GtOM." DU CALCUL INFINITESL\ÎÂL. 3 c

PREAlIÈxRE LEÇON.

Inc!inû!SO}i d'une Courbe plane en un point donné. Equnùons de la Tamrcnte et de la NomiaU à cette Courbe.

V^oNsiDÉRONS une coiwbe plane représentée par une équation entre deux coordonnc:îs rectangulaires s, y. Désignons par A.v, A^ les accroissemens simultanés que prennent x et y dans le passage d'un point à un autre. Menons par le point {^x , y) un demi-a\e parallèle à l'axe des .V, et dirigé dans le sens des .v jiositives. Enfin, cojicevons qu'un rayon vecteur mobile, appliqué d'abord sur ce demi-axe, tourne autour du point (v, y], avec un mouvement de rotation direct ou rétrograde, et s'arrtie, après une ou plusieurs révolutions, dans une position telle qu'il coïncide alors avec la corde menée àw point (.v, y) au point (.v-f-A.v, j-h A^'). Si l'on nomme -u l'angle qu'aura décrit le fayou vecteur, cQi an^le étant pris avec le signe 4- ou avec le signe — selon que le mouvemerit de rotation aura été direct ou rétrograde, il suffira, pour déierminer tang-nr, de remplacer, dans la seconde des formules (23) de la page 10 , .v par A.v, y par Aj, et p par 'or. On aura donc

(0 *û"g'=^ ==-zr*

Si, de plus, on désigne par ^, ti les coordonnées variables de la corda ou sécante menée du point (v.^) au point (x+A.y, ;/ + A^), on aura

encore

(2) .|^ r= tang -3- ,

et par suite

Oji pourrait, au reste, établir directement la dernière équation^ en projetant successivement sur les axes des .v et des y les deux longueurs comprises, d'une part , entre le point (.v, y') et le point (^, n) ; de l'autre, entre les points (-v,/) et (.v-H A.v, ^--j- A/). En effet, il serait facile de reconnaître, i.° que chacune des fractions

est équivalente , au signe près , au rapport entre les projections des deux longueurs sur le même axe , et par conséquent au rapport des longueurs elles-mêmes ; 2.° que ces deux fractions sont des quantités de même signe, savoir, des quantités positives, lorsque les points (^, «) et (.v-hA.Y, y-\-Ay) sont situés du même côté par rapport au point {x,y) , et des quantités négatives dans le cas contraire. La formule (4), ainsi établie, s'étend évideminent au cas même où l'on désignerait par X et y des coordonnées rectilignes obliques.

Parmi les quantités positives ou négatives que l'on peut prendre pour 'uT , l'une est égale, au signe près, à l'angle aigu compris entre la sécaiîte qui passe par les points {>■' > y) , (.v-|-Av, >'-f-A y) , et l'axe des X. Cet angle lui-même est ce qu'on appelle l'inclinaison de la sécante par rapport à l'axe dont il s'agit.

Concevons à présent que le point (.v-I-A.v, y -{- Ay) vienne à se rapprocher indéfiniment du point (v,^). La sécante qui joint les deux points tendra de plus en plus à se confondre avec une certaine droite que l'on nomme t<ingente à la courbe donnée, et qui touche la courbe au point [x , y). Pour déterminer la direction de cette tangente, il suffira de chercher la limite vers laquelle converge l'angle 'zs' tandis que les différences A.v, A^ deviennent infiniment petites. Si l'on désigne par .^ cette limite, et, si l'on prend .v pour variable indépendante, on tirera de l'équation (i)

(5) tang^l, — -^-f =7'.

DU CALCUL INFINITESL\L\L. ^7

Parmi les valeurs positives ou négatives de -^ qui vérifient l'équation précédente, celle qui sera- la plus petite, abstraction faite du signe, fera connaître l'angle aigu compris entre la tangente et l'axe des .y. Cet angle sera ce qu'on nomme l'i/icli/uiison de la tiuigcntc ou l' inclinaison de la courbe au point (.v,^), par rapport à l'axe des .v. Soit r l'angle dont ii s'agit. On vérifiera la formule (5) en prenant

le signe H- devant être préféré si l'ordonnée y croît avec l'abscisse x , et le signe — dans le cas contraire. Par suite, on aura dans le premier cas tang r =: >- '; dans le second, tang r zzz — y' ; et l'on trouvera généralement

tang r — ±y' . séc r r= /(i -h-;- ) , sin r — ±i tt-J-ttt' cotrzi^rrr-, cosec r :z= ziz -^ — /- — -> cos r rni - .

Concevons encore que, dans les équations (2], (3) et (4), on fasse converger vers zéro les différences A.v et Ay. En passant aux limites, et désignant par ^, n, les coordonnées variables, non plus de la sécante, mais de la tangente, on trouvera - - '

(7) yiIT — ^^"S 4 .

Les formules (8) et (9) s'étendent évidemment au cas mcme oii l'on désigne par x et/ des coordonnées rectiiignes obliques.

Si par le point \^x , /.) de la courbe donnée on mène une droite perpendicul.iire à la tangente, cette droite sera ce qu'on appelle la normale au point dont il s'agit. Pour déduire l'équation de cette normale de la

formule (7) , il suffira évidemment de remplacer l'angle \ par .vj/ rh —

On aura donc, eii dJoignaiU par ^ et 7i les coordonnées de la normafe,'

et pra- suite

, y 1' — 7 Jj^ l

(12) (^ — .v)^.Y-f-(« — ^l^/jrzio.

Soient maintenant

l'cquation de la courbe donnée, et Ç {x , y) , %(-V,)') les dérivées partielles dé /{a^j') par rapport aux variables .v et ^'. On tirera de i'écjua^ tion (13)

(i4) ç{xsy)Jx-{-x{-^-0')'h'=o;

puis, en combinant cette dernière avec les formules (p) et {12.), on trouvera pour l'équation de la tangente

et pour l'équation de la normale

{17) (^ — .y);^(.v,j(;) — (71— j)<p(.v,y)rr:o:

Il est bon de remarquer que, pour obtenir l'érjuation de la tûfigente , il suffît de remplacer, dans l'e'quat'iou d'iffcreiit'ielle de la courbe , les différentielles dx, dy , parles différences fuies ^ — a-, m— y. Au contraire, pour obtenir l'équation de la normale, on devra remplacer dy par ^ — x, et dx par

DU CALCUL, INFINITLSI.MAL. -jg

On peut observer encore qtie les formules (i4). (' 5).^ ("''). ('7) ne changeraient pas, si Li courbe donncc ciait rejircseiucc liuii par i'cuuation (13), mais par lu suivante ,

(iS) /(.v,/) = '-.

Enfin, si, Jans les ccjunlions (i 5) et (17), on regarde les coorcionn.ces ^, r, comme constantes, et les cooruonnées x , y comme variables , on obtiemlr.i non pins les cquaiions de ia tangente et de la normale ù la courbe (15) ou (18), nuais les équations de deux nouvelles couibes qui seront les lieux gco'nctriques des points où la courbe (18), et celles qu'on en déduit en faiLant varier ia constante c, sont rencontrées par des droites normales ou tangentes qui concoiu'cnt au point (^, î;).

Lorsque la fonction f [x , y) est une fonction entière du dc[fré //; , les premiers membres des équations (15) et (17), considères comme fonctîons des variables .v , y , sont en général du même degré ///. Alors les courbes représentées par les équations (13). (iS). (15) et (17) sont ce qu'on appelle des courbes Au degrc m. Si l'on suppose en outre que la fonction f[x, y) ne renferme pas de termes constans , et si l'on dé' signe par u la somme des termes du degré /// , par v la somme des termes du degré /// — i , par w ia somme des termes du degré //; — 2, &c. . . . , les équations (18) et (15) deviendront

(ip) u ■-{- V -\-v/ -\- . . . ^=:c ,

M X ,y xTdii dv f/ir 1 / xfdi/ ii V dw "1

{2o\ (^-.v)j__^-H---^--^...J-t-(.-;')|-H---*--^^...J=zo.

D'ailleurs, u , v , w . . . étant des fonctions homogènes, la première du degré ;/;, la seconde du degré m — \ , la troisième du degré /;/— 2 , &c..., on aura, en vertu du théorème des fonctions homotiènes,

, \ du du d\f dv , . div div , »

De ces dernières formules , combinées avec les équations (ip) et (2.0)/

4o APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

on tirera

. 9- I du dv div \ . (du dv div \ ^ ->-

L'éqiiatioH (22) représente, quand on regarde les coordonnées ^, n comme seules variables, la tangente menée par le point [x , y) à ia courbe (ip), et, quand on regarde les coordonnées x,y comme seules variables, une courbe du degré m—i qui renferme les points de contact de la courbe (icj) avec les tangentes qui concourent au point (^, n)^ Si l'équation (18) se réduisait à

Il désignant une fonction homogène du degré m, Téquatîon {22) devient drait

I /\ y du du .

(24) 1-^ -+-« -^— wr.

/."■ Exemple. Considérons le cercle représenté par l'équation finie

(25) x'-^f=:R\ L'équation différentielle de ce cercle sera {2^) X dx ~^y dy ^zz o:

Cela posé, on trouvera, pour l'équation de la tangente au point {x,y)^ (27) a'(^->^)H-;'(>i-^) = o, ou (28) x|-l-/7) = /?*; et pour l'équation de la normale ,

y{l — x) — x{ri—y)z=zo, ou

L'équation (2.7), lorsqu'on y regarde les coordonnées x,f comme seules

DU CALCUL INFINITÉSLMAL. ^I

-variables, représente un nouveau cercle qui ne dépenJ pas du rayon du premier, et qui a pour diamètre la distance comprise entre l'orii/ine et le point (^, »i). II sufHt, comme l'on sait, de construire ce nouveau cercle , pour résoudre le problème qui consiste à mener par le point (^,>i) une tangente au cercle donné. On obtiendra une autre solution du même problème, si l'on construit la droite représentée par l'équation (28) dans le cas oli l'on fait varier x et y. Or, pour tracer cette droite, il suffit d'observer, i." quelle est perpendiculaire au rayon vecteur compris entre l'origine et le point (^, »i) ; 2." que la distance de l'origine à laquelle elle coupe ce rayon vecteur, est une ti^isième proportionnelle au rayon du cercle donné et au rayon vecteur luimême.

Quant à l'équation (29), elle reproduit toujours la même ligne, quel que soit, entre les deux points (^, m) et (v,/), celui dont on regarde les coordonnées comme variables; et elle représente, dans tous les cas ainsi qu'on devait s'y attendre, une droite passant par l'origine.

s>/ Exemple. Considérons l'ellipse ou l'hyperbole représentée par l'équation finie

(30) Ax'- -^ iBxy-hCf =zK.

L*équation différentielle de cette courbe sera

(31) {Ax-{- By) dx -H [Bx -H Cy) dy =: o.

Par suite, on trouvera pour l'équation de la tangente au point [x, y),

(32) [Ax -+- By) [l-x) ~h{Bx-i- Cy) (r-^) ~ o , ou

(33) Ax^-i-B{y^-\-XY,)-}- Cyvz^/Cet , pour l'équation de la normale,

(ji) {Ax-^By) {y,-y) = {Bx-+~Cy){^-x).

Le( Bs ,li M. Caucli/. 1." Année. .c-

Lorsque, Jans les équations (32) et (33), on regarde les coordonnées .\ , y comme seules variables, ces équations représentent , la première, une courbe semblable à la courbe donnée, et dont un diamètre coïncide avec le i-ayon vecteur mené de l'origine au point (^, vi) ; la seconde, une droite qu'il suffira de construire, si l'on se propose de mener par le point (^, n) une tangente à l'ellipse ou à l'hyperbole proposée.

Si l'ellipse ou Ihyperbole est rapportée à ses axes , son équation sera de la forme

û, h désignant les longueurs des demi-axes. Alors féquation ['^}) deviendra

Pouj» consfruire la droite représentée par cette dernière équation dans le cas où l'on regarde les coordonnées x,y comme seules variables, il suffit de chercher les points où cette droite rencontre les axes. Or il est facile de trouver ces points, attendu que l'abscisse ou l'ordonnée de chacun d'eux, étant [abstraction faite du signe] une troisième proportionnelle à l'un des demi -axes et à l'abscisse ou à l'ordonnée du point (^, m), conserve, au signe près, la même valeur, quand l'ellipse ou l'hyperbole est remplacée par un cercle qui a l'un des axes 2<r;, zb pour diamètre. Si l'on suppose, en particulier, que la courbe soir une ellipse, et si l'on décrit trois cercles qui aient pour diamètres, le premier l'axe la, le second l'axe xb, et le troisième le rayon vecteur mené de l'origine au point (^, r) , alors , pour tracer la tangente menée par ce point à l'ellipse, et déterminer les points de tangence , il suffira de joindre par une droite le point où la corde d'intersection du premier et du troisième cercle rencontrera l'axe des x avec le point où la corde d'intersection du second et du troisième cercle rencontrera l'axe des y. Cette droite coupera l'ellipse aux points demandés.

j.' Exemple. Considérons la parabole reprcseiiice par l'équation iinie

(37) ■ f' = ^P-""- L'équation difTérentieile de cette courbe sera

(38) y dy := p d x.

Par suite, on trouvera pour l'équation de la tangente au point [x, y),

(39) y[-fl-y]:=p[l-x), ou (4o) y^—p^^px, et pour l'équation de la normale ,

L'équation (39), quand on y regarde les coordonnées x,y comme seules variables, représente une parabole de même forme que la proposée, et dont l'axe, parallèle à l'axe des .v, coïncide avec la droite

/::=—. L'équation (|o) représente, sous la mcme condition, la droite

qui renferme les points de tangence des deux tangentes menées à la parabole proposée par le point (^, >i). Or, pour construire cette droite, il suffira d'observer qu'elle coupe l'axe des .v au point dont l'abscisse est égale à — ^, et l'axe des / à une distance de l'origine deux fois plus grande que la perpendiculaire abaissée du foyer sur le rayon vecteur mené de l'origine au point (^, >i).

^/ Exemple, Considérons la courbe qu'on nomme îogûrilhmitjue , et dont l'ordonnée est équivalente au logarithme de i'abscisse. Si les logarithmes sont pris dans le système dont fa base est A, et désignés par la caractéristique L, en faisant, pour abréger,

on trouvera pour l'équation finie de la logarithmique

U-0 y=:L{x) = al{x),

et pour l'équation difFérentielJe de cette courbe

^^) 'dy-=.a — —■> ou xdy-z^adx.

Par suite, les équations de la tangente et de la normale deviendront

(14) x[y\—y)z=.a[^ — x), ou .v (>i H- ^— j) z= ^ ^

Lorsqu'on regarde les coordonnées ^, n comme constantes, et les coordonnées x,y comme variables, les équations {^^ et (4 5) représentent, la première une hyperbole équilatère qui a pour asymptotes l'axe des y et la droite yz:^ a -\- r^ , la seconde une parabole dont l'axe est parallèle à l'axe des y. Cette hyperbole et cette parabole coupent la logarithmique dans les points où elle est rencontrée par les droites tangentes et normales qui concourent au point (^, »).

j,' Exemple. Considérons la courbe qui a pour équation, en coordon- ];ées rectangulaires ,

(47) *arctang((f))=:=L/(.v'-H/)-L(/?)=4/i/(A-->-/)-/(/?)].

On s'assurera aisément que cette courbe est du genre de celles que l'on nomme spirales , qu'elle fait une infinité de révolutions autour de l'origine , enfin qu'elle se déplace et tourne autour de l'origine sans

* Conformément aux conventions établies dans la première partie du Cours d'anilyse , nous (lisons usage de notations qui renferment des parenthèses doubles, toutes les fois qu'il s'agit de représenter des fonctions qui admettent plusieurs valeurs : par exemple , un qtielconque des arcs de cercle qui répondent à une ligne trigonométrique donnée.

DU CALCUL INFINITÉSIMAL. 4j

changer de forme, quand la constante R change de valeur. Cette même courbe, qu'on nomme la spinile Jogûrithmi(]ue , aura pour cquation différentielle

(4 8) .V dy — y d X zzz a ( .v d x -+- y dy).

Par suite, les équations de sa tangente et de sa normale deviendront

(4p) xr.—yl = a[x[l — x)-^y[-A-y)]

(50) •v(^-.v)-f-;'(»i-;') -+-a[xi^-yl) = o.

Lorsque, dans ces dernières formules, on regarde .v , v comme seules variables , on obtient les équations de deux cercles qui ont pour corde commune le rayon vecteur mené de l'origine au point (^, >i), qui ont pour diamètre ce rayon vecteur successivement multiplié par les dçux

expressions 1/ (i-+-— t")' V^l'""*"'^') > ^^ <1^'^ ^^'^ trace en décrivant sur la corde commune des segmens capables des deux angles, dont l'un a pour tangente trigonométrique et l'autre pour cotangente la quantité t:. Comme les deux cercles dont il s'agit coupent la spirale logarithmique dans tous les points où elle est rencontrée par les droites tangentes ou normales qui concourent au point (^, >i) , ils fournissent im moyen facile de construire ces mêmes droites.

En terminant cette leçon , nous ferons observer que , si les demi-axes des X et des y positives , au lieu d'être perpendiculaires l'un à l'autre , comprenaient entre-eux l'angle J^-, l'équation (1) devrait être remplacéepar la suivante,

sin 'Sr Ay

sin ( /' — 17s \ A X

à laquelle on parviendrait en considérant le triangle qui aurait pour côtés les valeurs numériques de à.x , Ay , et comparant ces côtés aux sinus des angles opposés. Alors il faudrait aux équations (5), {■/;))

et (lo) substituer les suivantes :

I s sin ^j. __ / __ "ng 4

W -i sin(/-— 4) sin J^ — cos /'.tang4 '

H — y sin 4

T—x' sin (c/^ — 4)

in(4±^)