BA BE
BY~"BX' ce qui prouve que les droites AE et XY sont parallèles.
43. Problème V. — Prolonger une droite au delà d\in obstacle.
Soient X et Y (fig> i6) deux points de la droite que l'on veut prolonger. On plantera en un point quelconque A un premier jalon , un second en 6 sur AX , un troisième en C sur AY, les deux points B et C étant choisis de telle sorte, que la droite qui les joint rencontre XY au delà de l'obstacle. On plantera un quatrième jalon en D, intersection de GX et BY , un cinquième en un point quelconque E de AD , un sixième en F, intersection de BE et de AY , un septième au point d'intersection G de GE et de AX ; enfin un huitième en H, intersection de BG et de GF. Ge dernier point appartient au prolongement de XY.
En effet , d'après un théorème connu , dans le quadrilatère BGXY la ligne AD, qui joint le point d'intersection A de deux côtés opposés au point d'intersection D des diagonales , doit rencontrer BG en un point I qui est le conjugué harmonique , par rapport à B et G , du point d'intersection de BG et de XY. Dans le second quadrilatère GBGF, cette même ligne AD, qui joint le point d'intersection A de deux côtés opposés au point d'intersection E des diagonales,
.coupe BC en un point I dont le conjugué harmonique, par rapport à B et C, est le point d'intersection de BC et de GF. Les deux droites XY et GF devant passer par un même point de BC , le point H d'intersection de BC et de GF appartient à XY. '
On peut avoir, par une construction semblable , un second point du prolongement de XY, et alors la question sera résolue.
44. Problème VI. — Mener une perpendiculaire à une ligne donnée.
Après avoir mis un premier jalon en A sur la ligne donnée XY {fig* 17), on en placera quatre autres aux points B , C , D , E , équidistants du point A , les deux premiers étant en outre sur la ligne XY^ on en placera un sixième au point d'intersection I de BE avec CD , enfin un septième en G, intersection de BD et CE; la ligue IG sera la perpendiculaire demandée.
En efTgt , les distances AB, AD, AE, AC étant égales, les points D et E sont sur la circonférence décrite sur BC comme diamètre; donc les angles BDC, BEC sont droits. Les deux lignes BE , CD sont donc deux des hauteurs du triangle GBC \ par suite, la ligne qui joint le sommet G au point d'intersection I de ces deux hauteurs sera perpendiculaire au côté BC.
Si l'on voulait mener à la ligne donnée une perpendiculaire par un point donné O, il' suffirait de mener par ce point une parallèle à IG.
26 TROISIÈME LECOW.
Des règles. — Du niveau à bulle d'air. — De la stadia. — Description et usage du cercle. — Réduction des angles aux centres des stations*.
45. Lorsqu'on veut appliquer la irîgonomélrie aux opérations sur le terrain, on commence par mesurer directement certains angles et certaines bases. La mesure des bases, comme nous l'avons déjà dit , présente des difficultés beaucoup plus grandes que celle des angles , surtout quand on exige une grande précision ] aussi , dans la plupart des cas , ne mesure-t-on qu'une seule base , et l'on détermine par le calcul les autres distances qu'on a besoiA de connaître.
46, Les opérations sur le terrain se divisent en deux catégories : les opérations géodésiques et les opérations topographiques. Dans les premières , où il s'agit de surfaces d'une grande étendue, on doit tenir compte de la sphéricité de la terre et de la réfraction atmosphérique^ il faut aussi mesurer la base et les angles avec une grande précision. Dans les opérations topographiques, au contraire , où l'on considère des surfaces peu étendues et auxquelles se rapportent surtout les développements qui suivent , on néglige absolument la sphéricité du globe , et généralement on n'a pas besoin d'une précision aussi grande que dans les opérations géodésiques.
Les instruments dont on fait usage pour mesurer les bases sont au nombre de trois : la chaîne d'arpenteur dont
nous avons déjà parlé, les règles et la stadia. Pour mesurer les angles; on peut employer le graphomèlre , ou mieux le cercle dont nous donnerons plus loin la description.
Des règles,
47. Les règles employées parDelambre etMéchain dans les opérations géodésiques de France étaient en métal \ dans chaque règle était logé un thermomètre indiquant la température f et l'on avait soin de faire les corrections nécessitées par les dilatations. Dans les opérations topographiques , où Ton cherche à éviter les corrections très-minutieuses , on fait usage de règles en bois , qui ne varient pas sensiblement de longueur avec la température.
Les différents appareils usités ne diffèrent entre eux que par des détails peu importants; on emploie dans le génie militaire le système de règles imaginé par M. le colonel Clerc. En voici la description telle que l'a donnée M. le chef de bataillon Livet dans son Cours de topographie à . V Ecole d^ Application du génie et de V artillerie,
48. L'appareil de M. Clerc se compose de deux règles de 4 ou 5 mètres de longueur {fig* 43) s '^ ^^^^ mieux les faire de 5 mètres pour gagner du temps sur les mesures; mais comme cette grande longueur les rendrait embarrassantes dans les voyages , on les replie par le milieu au moyen de la charnière EG, et quand on veut s'en servir, on les rend rigides avec une pièce de fer H serrée par quatre boulons. Ces règles sont en bois de sapin de droit fil ; elles sont divisées en mètres et décimètres , et portent à chacune de leurs extrémités des cylindres en acier : l'un vertical en A, l'autre horizontal en B. Cette disposition est motivée sur ce qu'étant mis en contact , les cylindres ne se touchent qu'en un seul point, ce qui offre plus de précision. Le cylindre vertical A est porté par une languette a'" (fig. 44) ? divisée
en millimètres et mobile dans un coulisseau horizontal. Par cette disposition , au lieu de placer les règles en contact immédiatement , on laisse entre elles un petit intervalle qui se mesure sur la coulisse , établissant le contact par le mouvement seul du cylindre, sans qu'on puisse craindre de déplacer par un choc la dernière règle posée.
Les règles et leurs pieds sont réunis à angle droit par des doubles boites en tôle C {fig- 4^), dans lesquelles les pieds et la règle se meuvent à volonté et se fixent ensuite au moyen de vis de pression D. C'est en faisant monter ou descendre les règles le long d'un de leurs pieds et au moyen d'un petit niveau à bulle d'air N, que Ton parvient à les amener dans une position horizontale. Pour faciliter cette opération , on a ajusté à l'extrémité inférieure de chacun de ces pieds une espèce de pédale en fer F, sur laquelle on appuie pour assujettir l'appareil dans le cas où il serait nécessaire d'élever la règle. On distingue les règles entre elles par les n°* i et 2 qui y sont peints.
49. Voici maintenant comment il faut se servir de l'appareil. Supposons d'abord le terrain horizontal, et soit LM (fig' 45) la ligne qu'il s'agit de mesurer. Cette ligne a été préalablement jalonnée , puis tracée au moyen d'un cordeau de 5o à 60 mètres], fortement tendu dans la direction de la ligne par deux piquets en fer /?, à partir du point L, d'où nous supposons que doit commencer la mesure.
Pour opérer, les aides sont au nombre de quatre , deux pour chaque règle-, ils sont placés à gauche, près des pieds. Le cordeau est tendu rapidement par un des aides , qui , muni d'une petite hache à tète X , enfonce le premier piquet ^, près du point de départ; il tend alors le cordeau que le chef de la manœuvre fait entrer dans la ligne, et l'ayant fixé avec le second piquet , il revient à son poste.
La première règle n*^ 1 étant placée , ses pieds exacte-
MESURE DES BASES ET DES ANGLES. 2g
ment contre le cordeau , son extrémité arrière A à peu près dans la verticale du point de déps^t L , on l'amène dans une position horizontale au moyen des pieds et du niveau. Elle est maintenue dans cette position , pendant que le chef de la manœuvre , placé à droite des règles , amène le cylindre mobile A , au moyen du fil à plomb , exactement dans la verticale du point L. Pour cette opération , le plomb a {fig> 44) ^st terminé par un cône dont le sommet est dans la direction de Taxe du fil auquel il est suspendu. Ce fil est maintenu sur le cylindre A qui , comme le cylindre B, doit avoir en son milieu une rainure a\ dans laquelle la moitié du fil à plomb est engagée ; c'est afin que Taxe du fil et celui du plomb se trouvent exactement sur Tarète du cylindre et soient sur la verticale exacte , que Ton fait passer par le milieu du piquet p, marquant l'extrémité de la ligne à mesurer. Le centre de ce piquet peut s'estimer à vue, mais il est plus exact de le marquer au moyen d'un clou à tète conique qu'on y enfonce , et l'on fait avancer le coulisseau a"' du cylindre mobile , jusqu'à ce que la pointe tombe exactement sur la tête du clou. Le chef de la manœuvre lit aussitôt sur la tige mobile la quantité dont il a dû la faire avancer pour obtenir ce résultat , et il inscrit sur son registre le nombre trouvé de millimètres^ quant aux fractions, elles s'estiment à vue.
Ce registre est composé de trois colonnes : la première porte le numéro de la règle posée ^ la deuxième , la longueur de la règle ; enfin la troisième , la longueur dont la règle a été allongée.
Pendant le temps qu'on emploie à poser la première règle, la seconde est placée à la suite. par les deux autres aides-, la première, étant alors prise pour repère, est tenue fixe et en équilibre .
La seconde règle se place avec les mêmes précautions que la première, ses pieds contre le cordeau et son exlré-
3o TI1018IÈ1IE LEÇO».
mité à quelqueë centimètres de celle-ci. On la fixe en place en appuyant sur les pédales et en serrant les tîs; elle est rendue horizontale au moyen du niveau qu'elle porte , après quoi on amène le cylindre mobile  en contact avec le cylindre fixe 6.
Après la lecture et l'inscription de cette nouvelle observation , le chef de la manoeuvre sépare les deux cylindres sans frottement) en faisant éprouver à la première règle un léger mouvement de recul dans la direction de sa longueur, et il pousse cette règle en dehors. Alors les deux aides l'enlèvent et la portent en avant de la deuxième avec les précautions déjà indiquées, et ainsi de suite, jusqu'à l'extrémité de la ligne à mesurer.
50. Après que la dernière règle a été mise en contact avec la précédente, elle dépasse généralement l'extrémité de la ligne à mesurer ; le long de celle-ci , en Y [fig* 45 ) , on laisse tomber un fil à plomb qui marque quel nombre de mètres et de fractions il faut ajouter aux règles entières pour avoir la longueur LM .
Supposons qu'on ait placé trente règles de 4 mètres , que la somme faite de toutes les languettes qui ont servi à leur réunion soit de 2'",5i, et qu'enfin la fraction de règle qu'il a fallu ajouter pour compléter la mesure , soit de i'",53 ; on aura pour la longueur totale ,
4"X 3o-h2",5i -h i",53, ou i24",o4.
51 . Quand le terrain sur lequel on opère est incliné ou inégal [fig» 46 ) , et qu'on ne peut placer les règles à la même hauteur, on se sert d'un fil à plomb pour amener le cylindre mobile A de l'une des règles à être en contact avec la même verticale que le cylindre fixe B de la règle suivante. Dans ce cas , ce n'est pas la ligne LM , mais sa projection horizontale, que l'on mesure; en d'autres termes, on a la distance LM réduite à l'horizon.
MESURE DES BASES ET DES ANGLES. 3l
52. Les règles ne sont employées en topographie que pour les opérations fondamentales qui exigent une grande précision (*). L'instrument usuel est la chaine^ c'est le seul dont on fasse usage dans les opérations ordinaires.
Du nweau à bulle d'air.
53. Nous avons dit qu'on s'assurait de l'horizontalité des règles au moyen d'un niveau à bulle d'air. Cet instrument se compose d'un tube de verre de forme à peu près cylindrique , dont l'axe est légèrement courbé , presque entièrement rempli d'alcool ou d'huile de naphte , fermé hefmétiquement à ses deux bouts , et dans lequel on laisse un petit espace occupé par une bulle d'air.
Si , plaçant ce tube dans une position à peu près horizontale 5 la Convexité de la courbure tournée vers le haut , on l'incline plus ou moins dans le sens de sa longueur, de telle manière cependant que la bulle n'atteigne pas les extrémités , le plan tangent à la surface du cylindre au point où le milieu de la bulle s'arrêtera , sera constanunem horizontal dans les diverses positions du tube. C'est sur cette propriété qu'est fondé l'emploi du niveau à bulle d'air. Le tube dont il vient d'être question est renfermé dans une boîte en cuivre de forme cylindrique , échancrée de manière à laisser à découvert l'espace où doit s'arrêter la bulle. L'ensemble du tube et de sa garniture est fixé à demeure sur une petite plaque en cuivre [fig' 47)* Cette plaque doit être horizontale lorsque la bulle s'arrête au milieu du tube, qui est indiqué par un trait sur le verre. Une vis placée à l'une des extrémités de la boîte cylindrique et une charnière à l'autre extrémité permettent de rétablir le
{*) Nous avons cnl devoir indiquer les plus minutieux détails de l'opération , pour ceux de nos lecteurs qui se trouveraient dans l'impossibilité de prendre par eux-mêmes ou de voir prendre la mesure d'une base.
parallélisme entre le plan de la plaque et celui qui touche le cylindre au point marqué par le trait dans le cas où ce parallélisme viendrait à être troublé^ on reconnaîtra que le parallélisme a été rétabli , si , retournant le niveau bout pour bout, la btdle a la même position apparente pour l'observateur supposé immobile , avant et après le retournement.
Pour reconnaître si un plan est horizontal, il suffit de placer le niveau sur ce plan dans deux directions rectangulaires , et si 9 dans les deux cas , la bulle s'arrête au milieu du tube, on sera certain de Thorizontalité du plan. Dans le cas des règles , il suffit évidemment de placer le niveau dans leur direction.
De la stadia,
54. La stadia est fondée sur l'une des propriétés les plus élémentaires des triangles semblables.
Soit A06 un angle constant {fig» i8), et supposons une règle graduée en parties égales se mouvant en restant parallèle à elle-même. Soient AB et ah deux positions de cette règle; les triangles AOB et aOi étant semblables, .on a
OA AB ^, Oa ^„
--=:— et OA = -r-AB, Oa ab ab
d'où il suit que , si le rapport —7 est connu une fois pour
toutes , on pourra déduire du nombre de divisions de la règle renfermées dans AB, la longueur de OA. Enfin, si la grandeur de l'angle constant et celle des divisions de la règle sont telles que le nombre de mètres de Oa soit précisément égal au nombre de divisions de ai, il suffira , pour évaluer la distance OA en mètres , de lire le nombre des divisions de la règle contenues dans AB. Tel est le principe de la stadia.
55. La stadia est une règle de boîs dont la longueur varie de 3 à 4 mètres et qui est divisée en parties égales. Le complément de la stadia est une lunette dans l'intérieur de laquelle on disposé deux fils très -fins , parallèles et horizontaux. Si la distance de ces deux fils est égale à -^ de la distance focale de la lunette à 200 mètres , et qu'on vise à cette distance déterminée avec précision sur un terrain uni , une stadia de 3 mètres placée verticalement, on aperçoit la stadia tout entière exactement comprise entre les fils. Alors la partie de la stadia qui représente i mètre a o°*,oi5 de longueur. Par conséquent, si le nombre des divisions de la stadia est 200, pour mesurer une distance inférieure à 200 mètres , il suffira de placer la lunette à Tune des extrémités et de viser la stadia placée à l'autre extrémité. On comptera le nombre de divisions comprises entre les deux fils mesureurs, et l'on aura le nombre de mètres que renferme la distance qu'on veut évaluer.
Nous ne pourrions , sans sortir des limites de notre sujet , décrire ici les précautions délicates nécessaires pour étalonner une stadia, lorsque l'écartëment des fils mesureurs de la lunette est donné , ou pour déterminer cet écartement , lorsqu'au contraire c'est la stadia qui est donnée toute divisée. Ceux des lecteurs qui voudraient avoir plus de détails devront consulter les traités spéciaux de géodésie et de topographie.
56. La stadia conduit à des mesures presque aussi exactes que la chaîne : elle a, en outre, sur elle le grand avantage de la célérité ; enfin elle est indispensable dans les pays de montagne , où le chaînage est souvent impossible.
Description et usage du cercle.
57. Le cercle est un instrument beaucoup plus parfait que le graphomètre. 11 sert à mesurer l'angle formé par
deux plans verticaux , et , par conséquent , Tangle de deux rayons visuels réduit à F horizon .
Le cercle se compose de trois parties bien distinctes : le pied, une partie fixe, une partie mobile.
58. Le pied est formé [fig* 48, 49? 5o) d'une tablette en bois M portée par trois supports R à deux branches 5 une tige s la traverse normalement en son centre 5 un ressort à boudin, dont une extrémité est retenue sur la tige s par une chevillette s'\ a son autre extrémité fixée à la base d'un cylindre s^ qui enveloppe la tige s et le ressort. Le cylindre est porté par la tablette M. Le ressort à boudin tend à faire descendre la tige s dans le cylindre ^i .
59. La partie fixe se compose d'une pièce en cuivre K , qui porte à son centre une cavité S, dans laquelle vient s'engager la tête de la tige s \ la pièce K s'appuie sur la tablette M par trois vis L , et est surmontée par un cylindre I , évidé en forme de cône tronqué. Le ressort à boudin, tendant à faire descendre la tige s , fixe l'appareil sur son pied.
60. La partie mobile est formée d'un goujon e, placé dans le cylindre I , et qui peut communiquer aux pièces mobiles un mouvement de rotation autour de son axe. Un cylindre HH , qui enveloppe le cylindre I et qui est fixé à la partie supérieure du goujon, porte à sa base un plateau circulaire W. Une vis de rappel X , engagée , d'un^art , dans un collet lié invariablement au cylindre I, et d'autre part, dans un écrou fixé sur une pince qui peut saisir le bord du plateau W, à l'aide d'une vis V, permet de communiquer à ce plateau un mouvement lent, lorsque la vis V est serrée. Un limbe circulaire E , divisé en degrés et quarts de degré, est fixé au goujon.
Une lunette Q peut tourner autour d'un pivot P, porté par un anneau circulaire N qui embrasse le cylindre HH.
Un second anneau N', embrassant également le cylindre HH, auquel il peut être lié à l'aide d'une vis Y, porte l'écrou z" d'une vis Y' qui passe dans un collet -s, fixé à l'anneau N. La vis Y', engagée ainsi dans le colletai et dans l'écrou z"^ lie entre eux les anneaux N et N'.
Il résulte de cette disposition que la lunette Q peut recevoir un mouvement rapide de rotation , indépendamment de celui du cylindre HH , lorsque la vis Y ne lie pas l'anneau N' à ce cylindre ^ dans le cas contraire , la lunette Q ne peut avoir que le mouvement lent de la vis de rappel Y' avec le mouvement général du limbe E et du plateau W.
Un diamètre D , terminé par des biseaux portant des verniers , tient à la tête du goujon par un petit cylindre d^ lequel est maintenu par un chapeau y"; en sorte que la pièce D peut tourner indépendamment du limbe E. Un rayon «j Ms faisant corps avec D porte un collet i/j ^ ce collet tient une vis de rappel U dont l'écrou u"u' est fixé à une pince t qui peut saisir le bord du limbe E, à l'aide d'une vis T. Lorsque cette vis est serrée, les verniers D sont réunis au limbe E, et ne peuvent recevoir, par rapport à lui , que le mouvement lent de la vis U. Une équerre <?, fixée sur le diamètre D, tient à l'aide de vis le support C d'une seconde lunette A dont l'axe optique est dans le plan de Taxe du goujon. La lunette A peut tourner autour d'mi pivot B fixé au support C. Enfin, un niveau à bulle d'air G est porté par une plaque eu cuivre F faisant corps avec le diamètre D.
61. Voici comment on doit se servir de l'instrument. Soient O la trace sur le sol de Tintersection des deux plans verticaux dont on veut mesurer l'angle, «et 6 deux points situés respectivement dans ces deux plans et qui en déterminent la position. On place le cercle de manière que son axe coïncide avec la verticale O, en faisant usage d'un fil à plomb, comme nous l'avons expliqué au n^ 17, en par-
lant du graphomètre. Puis, à l'aide des vis L et du niveau (i , on amène le limbe E à être horizontal. Les vis ï, Y et V étant desserrées , on fait tourner le diamètre D , jusqu^à ce que les zéros des verniers coïncident à peu près avec les divisions o et 180 du limbe £. On serre la vis T, et, à Taide du mouvement lent de la vis de rappel U, ou obtient la coïncidence parfaite.
On fait ensuite tourner le plateau W, qui entraîne toute la partie mobile de Tinstrument, jusqu'à ce que l'un des points a ou 6, a par exemple , puisse être vu avec la lunette supérieure A en la faisant tourner autour de son pivot B ^ alors on serre la vis V, et, au moyen du mouvement lent de la vis de rappel X^ on amène l'axe optique de la lunette à passer par le point a. On fait tourner l'anneau N'qui entraine l'anneau supérieur N et , par suite , la lunette Q , jusqu'à ce que le même point a puisse être vu avec cette seconde lunette , en la faisant tourner autour de son pivot P. On serre la vis Y, et le mouvement lent qu'on peut produire par la vis de rappel Y' permet d'amener l'axe de la lunette à passer par le point.
On desserre la vis T et l'on fait tourner le diamètre D qui entraine la lunette A sur le limbe, jusqu'à ce que le point 6 soit vu avec cette lunette en la faisant tourner autour de son pivot B5 on serre la vis T, et le mouvement lent communiqué au diamètre D par la vis de rappel U permet d'amener l'axe optique de cette lunette à passer par le point ê. On regarde si l'axe optique de la lunette inférieure passe toujours par le premier point. Si cela n'a pas lieu, on est averti que l'instrument a été dérangé, et il faut recommencer l'opération ; dans le cas contraire , on lit les divisions du limbe E qui correspondent aux zéros des verniers^ en retranchant de leur somme 180, et divisant le résultat par 2 , on a l'angle cherché.
