II

Haateor commane,

Sorface,

Surface du terrain .

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Problèmes de géométrie pratique,

39. Nous terminerons par quelques problèmes de géométrie pratique, qu'on peut résoudre rapidement sur le terrain avec une chaîne et des jalons seulement.

Problème I. — Tromper la distance de deux points inaccessibles ,

Soit AB [fig' i3) la longueur à mesurer. En un point D quelconque on plantera un jalon, et deux autres en des points C et c équidistants du point D et en ligne droite avec lui 5 en un point E quelconque pris sur le prolongement de AC, on plantera un quatrième jalon, et l'on prolongera DE d'une quantité De égale à DE; en un point F pris sur le prolongement de BC, on plantera un cinquième jalon , et Ton prolongera DF d'une quantité Y^f égale à DF ; enfin on plantera deux jalons aux points b ela d'intersection des alignemetrts AD, BD avec les alignements ec^fc^ et Ton mesurera la distance ab : on aura ainsi la longueur de la ligne AB.

En effet , de ce que les triangles FDC , CED sont respectivement égaux aux triangles y*D c , ceD, on conclut que les angles BFD, AED sont respectivement égaux aux angles b/D^aeD^ et, par suite , que les triangles BDF, ADE sont respectivement égaux aux triangles bDf^ aDe; donc

Les triangles DAB, Dab sont donc égaux, par suite,

40. Problème II. — Trou\^er la distance d^un point donné à la droite qui passe pat deux points inaccessibles

Soient AB [fig* i3) la droite inaccessible et C le point dont on veut avoir la distance à cette droite. Après avoir mis au point G un jalon , ainsi que deux autres en des points D et c situés sur un alignement passant par C , et de telle sorte que la distance CD soit égale à De, on effectuera avec ces trois points la construction du problème précédent ; on aura ainsi une droite ab dont la distance au point c sera égale à la distance de C à AB.

En effet, de ce que les triangles D/c, D/'A sont respectivement égaux aux triangles DFC, DFB, on conclut que les lignes c6, CB sont égales; de même, de ce que les triangles Dec, Dea sont respectivement égaux aux triangles DEC, DEA , on conclut que les lignes ca , C A sont égales : les deux triangles cba , CBA sont donc égaux et ont 5 par conséquent , des hauteurs égales; donc la distance du point e à la droite ai, distance que l'on peut mesurer, est égale à la distance du point C à la droite inaccessible AB.

41. Problème III. — Par un point donné, mener une parallèle à une droite dont une partie est accessible.

Après avoir mis un premier jalon au point donné A (fig* 14) 9 on en placera trois autres équidistants entre eux en B, G, D sur la portion accessible de la droite donnée , puis un cinquième en E sur le prolongement de AB , un sixième en F, intersection de AD et de CE, enfin un septième en G, intersection de BF et de DE: la ligne AG sera la parallèle demandée.

En effet, dans le triangle EBD, les deux lignes AD, BG étant menées de deux sommets B et D à un point F de la médiane passant par le troisième sommet, ces droites rencontreront les côtés opposés en deux points A et G, qui seront sur une parallèle à la base BD.

43. Problème IY. — Par un point donné, mener un fi parallèle à une droite inaccessible.

Soient A (Jig. i5) le point donné, X et Y deux points visibles de la ligne inaccessible; après avoir mis un premier jalon en A , on en placera un second en B sur AY, puis un troirîème en un point quelconque C. Par le point A, on mènera , en employant la construction précédente , une parallèle a CY et l'on placera un quatrième jalon au point D où cette parallèle coupe CB. Par le point D, on mènera une parallèle à CX, e< Von plantera un cinquième jalon au

point E d'intersection de cette droite avec BX j la ligne AE sera la parallèle demandée.

En effet , les parallèles ÂD et GY donnent