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Le terrain a ici une surface de 36929 mètres carrés, ou de 5*»*^*«"'%6929.

31. Remarque. — On doit, autant que possible, opérer la décomposition en triangles de manière que les perpendiculaires dont on fait usage ne soient pas trop petites; car,

si le point d'où l'on abaisse avec Féquerre une perpendiculaire à une droite est trop près de cette droite, il est facile de commettre une erreur sur la position du pied de la perpendiculaire.

32. Seconde méthode y dite de la décomposition en trapèzes, — Soit ABCDEFG [fig. 9) le terrain qu'il s'agît d'arpenter 5 on tracera une ligne MN qui ne soit pas trop près des sommets , puis de ces sommets on abaissera sur MN les perpendiculaires Aa, B&, Ce, Drf, Ee, Fy, G g. La surface du polygone sera alors égale à la sonmie des trapèzes ABa&, BC&c, GDc^i, DE^e, diminuée de la somme des trapèzes EFe/*, FG^g^, GAg^a-, et, par conséquent, la question se trouvera ramenée à mesurer les distances des sommets à la ligne MN et les projections des côtés sur cette ligne; car on pourra alors calculer les surfaces des différents trapèzes.

Pour éviter les erreurs que produirait la confusion des bases et des hauteurs , ainsi que celle des trapèzes additifs et soustractifs , il convient , quand on va sur le terrain , de se munir d'un tableau disposé d'une manière analogue à celui indiqué au n° 30.

33. Remarque. — Quand on ne peut franchir les limites du terrain qu'on veut arpenter, il faut non- seulement que la ligne MN soit située sur ce terrain, mais encore qu'elle soit tellement choisie, que les perpendiculaires abaissées des sommets ne sortent pas des limites. Cette condition est quelquefois difficile à remplir 5 alors on cherche à décomposer le polygone en deux ou plusieurs parties, sur lesquelles on opère successivement.

Méthode pour la quadrature approchée des courbes. 34". Soient MN (/îg. 10) une portion d'une ligne courbe

l8 DEUXIÈME LEÇON.

quelconque, x^x une droite quelconque, MA et NB les perpendiculaires abaissées des extrémités M et N sur x!x ; et proposons-nous d'évaluer approximativement l'aire du trapèze mixtiligne comprise entre l'arc MN, la ligne x'x et les deux parallèles MA et NB. Pour cela , partageons Tare MN en un certain nombre de parties assez petites pour que chacun de ces arcs soit sensiblement confondu avec sa corde. Par les points de division P, Q,. . ., abaissons sur x'xXes perpendiculaires PC, QD, ... 5 il est évident que la surface cherchée sera à très-peu près égale à la somme des trapèzes MPC A , PQCD,..., etc. : en mesurant donc les bases et les hauteurs de ces trapèzes, on pourra connaître une valeur approchée de Taire AMNB.

35. On peut facilement donner une idée de l'approximation que l'on obtient par cette méthode, en considérant le cas particulier où Tare MN a été divisé , de manière que les projections de ses parties sur x'x soient égales entre elles. Supposons d'abord que les perpendiculaires abaissées des différents points de l'arc MN sur x'x aillent constamment en augmentant ou en diminuant, conmie dans la Jig, II. Construisons les rectangles intérieurs ACMm , CDP/7 , DEQ^ , EBRr, et les rectangles extérieurs kCPp\ CDQy', DERr', EBN5', ayant pour base commune l'une des divisions h de AB^ il est clair que l'aire de la courbe et la somme des trapèzes dont il a été question plus haut sont toutes deux comprises entre les deux sommes de rectangles. D'ailleurs la différence entre ces sommes de rectangles est égale au dernier rectangle extérieur EBN^', diminué du premier rectangle intérieur ACMm; donc l'erreur commise , en prenant la somme des trapèzes poi^f* l'aire de la courbe, estmoindre queEBN5' — ACM/n ou h (NB — MA) 5 et, par suite, on peut faire en sorte qu'elle soit aussi petite que l'on voudra en prenant h suffisamment petit.

ARPENTAGE. ig

La même chose a lieu si les perpendiculaires abaissées des différents points de MN ne varient pas constamment dans le même sens , car alors on peut évidemment décomposer la courbe en plusieurs parties satisfaisant chacune à cette condition.

36. Il existe , pour la quadrature approchée des courbes , une méthode attribuée à Thomas Simpson, et qui conduit à un résultat plus approché que la précédente. On démontre cette méthode en géométrie analytique^ nous nous bornons ici à l'indiquer. Elle consiste à partager l'arc de la courbe en un nombre pair de parties dont les projections A sur a/x soient égales ; et à prendre pour valeur

approchée de Faire le tiers du produit que Ton obtient en multipliant l'intervalle constant /i, parla somme des ordonnées extrêmes augmentée du double de la somme des autres ordonnées de rang impair et du quadruple de la somme des ordonnées de rang pair.

arpentage d'un terrain limité par un contour formé de droites et de courbes quelconques,

37. Soit proposé d'arpenter le terrain limité d'une part par la ligne brisée ABCDEFG [fig* 12), et d'autre part par la courbe AIG. En abaissant sur une ligne quelconque MN les perpendiculaires AajBJjCcjDc?, Ee, F/*, Gg^ il est évident que la surface du polygone se trouvera décomposée en trapèzes additifs et soustractifs , comme au n^ 32 , avec cette seule différence que Tun des trapèzes additifs sera mî^liligne. On évaluera donc chacun des trapèzes ordinaires en mesurant ses bases et sa hauteur \ puis ensuite le trapèze mixtiligne par la méthode des n°* 34 ou 36.

Remarque, — Le même procédé s'applique sans difficulté au cas où le terrain est terminé, dans plusieurs de ses parties, par des lignes courbes.

aO DEUXIEME LEÇON.

Cas d'un terrain dont on a construit la carte à f échelle,

S8. Si le lever du terrain qu'on veut arpenter se trouve effectué , il est évident que le moyen le plus simple consiste à prendre sur la carte et à rapporter ensuite au terrain les dimensions des triangles ou des trapèzes dans lesquels on le suppose décomposé.

Voici un tableau donnant Tensemble des calculs pour l'évaluation de la surface d'un terrain dont le lever à Téchelle de -j-j^ est représenté par la fig. 12. Le terrain est terminé d'une part par les droites AB, BC, CD, DE, et d'autre part par la courbe AIG 5 be est prise pour base de l'opération 5 la projection sur cette base de la courbe AIG a été partagée en dix-sept parties égales.

ARPEKTAGE.

Arpentage de . . . (fig. 12)

AafrB.

B&cG.

CcdXy. D<2eE.

Ep/F.