XCII

TOTENTIEL ET FOIir.ES I) ATTKAtn'ION.

Pour donuer un exemple de l’emploi dis équations du mouvement d’un point rapporté à des coordonnées curvilignes, supposons que le paramètre p soit un potentiel, et que l’on connaisse les deux familles de surfaces, aux paramètres p, et pi, conjuguées à celle des surfaces de niveau, et qui complètent un système orthogonal. Supposons, en outre, que la force, rapportée à Tunité de masse, et qui agit sur le mobile, ne soit autre que la résultante des attractions ; ou, ce qui est la même chose, que cette force soit, en tout point de la trajectoire, perpendiculaire à la surface P qui passe en ce point, et égale à la valeur correspondante du paramètredi fférentiel du premier ordre h (§ XVIII) . Alors, les composantes R, ont les valeurs

Le second membre de l’équation (a3) se réduit au seul terme tids, ou tjp\ on a donc

( 25 ) odi’ V| f/v, - 4 - 1 >, (iv, = d f.

On peut regarder les vitesses composantes v, comme étant des fonctions des coordotinées, ne dépendant du temps /

SUn LES COORDONNÉES CURVILIGNES, ETC. l6j

qu’implicitemcul, par les p,. Les dérivées premières de ces fuiictions sont régies par le groupe suivant :

d» di>, dv,

dv dvi dvi

-J- t», 4. P, O, “pi “pi “pi

dv dvf dvi

“fj “Pa «Pi

(kVluit de l’équation ( 25 ).

La dérivée de v, par rapport au temps, se développe ainsi

, . dv dv dv . dv ,

quand 011 remplace les par les A, ( 3). Substituant dans

la première (ai) • ^ cette valeur (27); a° aux cour-

bures leurs valeurs (24), § XXX; 3 “ à R le produit de h (24) par le premier membre de la première (a 6 ), lequel

est égal à l’unité; edaçant le terme ^ qui se trouve

dans les deux membres ; enfin, mettant t/, et t>, en facteurs communs, il vient

l , dv h dh, fl, dh , dv,\

y‘'di,-^r,Tp'’'-Td^,''-%)

( dv, h, dh h dh, , dv\

= ^’Vd.-^hTo,''-fr,Tr^-'‘'df,)'

mettant encore en fadeurs, hfi, au premier membre, hh, au second, cl changeant l’ordre des termes, on a

, , / \ dv 1 dh i dv, I dh, \

\ /) rfp, /i’ rfp, h, df h\ dp j

. ■' ‘ dp h\ dp ’ 7» dp, ^ h} dp, ' /'

l68 LEÇONS

Or, on voit facilement que cette équation se réduit aux deux premiers membres de l’égalité multiple

rfp, dp dp dp, dp, dp, h,v, ~ hv

Et quand on opère de la même manière sur la seconde (21) (ou sur la troisième), en remplaçant R, (ou R,) par h, (ou ht), multiplié par le premier membre de la seconde (26) (ou de la troisième), lequel est nul, l’équation ainsi transformée exprime que le troisième membre ( 26) est égal au premier (ou au second).

Ainsi, le mouvement du point attiré est totalement représenté par le groupe (28), joint à l'équation (a5), dont les (26) ne sont que des conséquences. Ou bien, représentant par h la valeur commune des trois fractions (28), et intégrant l’équation (25), on aura

: khv.

dp, dp,

-7; -Tp,

= kh,v„

dp, dp \ •

\ e’-4- -f- l'J =p -H const.,

équations finales, d'une symétrie et d’une simplicité remarquables. On voit, par cet exemple, que l’introduction des coordonnées curvilignes, dans les questions de mécanique, ne compliquerait pas nécessairement leurs formules, et qu elle pourrait leur donner la symétrie qui souvent leur manque. .

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SUR Liqp r.OORUONNÉt'S CURVILIOnKS, ETC. 169