XCIV

CAS DU l’OTKNTIEI. CYLLNDRIQUE.

Des droites matérielles, parallèles et indéfinies, exercent, sur un point mobile, des attractions variant en raison inverse de la simple distance à chaque droite. Le point se meut dans un plan perpendiculaire aux droites attractives, pris pour celui de xy. La composante parallèle aux X de l'attraction exercée, à la distance

r=\j(x — ay-h(jr — by,

sur le point aux coordonnées (x, j") et de masse fx, par la droite {x = a, y ■= b), avec l’intensité m, sera

ou

d . m log -

c étant une ligne constante.

. Le signe § désignant, ici, une somme de termes dont le nombre est égal à celui des droites attractives, soit posé

la constante c, et les (x, y) ayant les liièmes valeurs dans tous les termes; tandis que «i, et les (n, b) changent d’un terme à un autre. La résiülante de toutes les attractions, laquelle est dirigée dans le plan des xy, aura pour composantes, parallèles aux x et aux y.

LEÇONS

La l'oncllon p (i) ilc (x, jr) peut être appelée le potentiel cylindrique.

§ xcv.

SON SYSTÈME ORTHOGONAL.

L’équalioii (i) représente une famille de surfaces cylindriques, dont P est le paramètre. Si l’on compose la nouvelle somme ,

S m arc tang-^ = p„

on aura une seconde famille de cylindres au paramètre p,. Ces deux familles de surfaces se coupent urtiiogonalement. Ehi cUct, voit facilement quo

qui est égal à la dérivée aussi à ^

qui est égal à la dérivée j

dire que l'on a

1 J l’est

dpi

dr ~

dx

Or ces deux relations (3) donnent d'abord

^ ■ dx d.r dr dy ’

ri, étant mils, cette équation (4) exprime que les

SUR LES COORDONNÉES CURVILIGNES, ETC. l’j'i

plans tangents aux cylindres p et p,, menés par une môme génératrice, font un angle dièdre droit.

Les mômes relations (3) donnent ensuite

ou bien /t, = h. C’est-à-dire que les paramètres ililTéreiiticls du premier ordre, des surfaces p, cl p, sont égaux en chaque point. Ainsi, ris et dsi étant les éléments noriiiaux aux surfaces p et p,, on aura

Enfin les relations (3) conduisent, par dillémilialion, aux équations

ou bien ( Atp = O, A,p, =o), puisque les dérivées en z n’existent pas. C’est-à-dire que les paramètres dilVérentiels du second ordre, des fonctions p et p,, sont niils dans tout l’pspace. Les deux familles de cylindres p et p, sont donc isothermes.