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PHOBLKMK r)E I.EUltS TEMPÉRATlIltES STATIONNAIRES.

Un corps solide liomogênc esi liniiié latéralement, |>ar deux cylindres de la première famille (i), aux paramètres a', x", et par deux cylindres de la seconde famille, aux paramètres j5', (j"; il s’étend indéGniment dans le sens des s. Cliaquc génératrice de la surface latérale est entretenue, sur toute sa longueur, à une température Gxe et donnée, qui diflère d’une génératrice à une autre. Le solide est en é(|uilibre de chaleur, il s’agit de trouver la loi intégrale qui régit les températures stationnaires V, des points intérieurs.

Il est évident que V doit être indépendant de z, ou ne varier qu’avec a et j3. Or, une fouction-de-point V étant exprimée à l’aide des trois coordonnées tlicrmométriques («, [3, z), son paramètre diflérenliel du second ordre a la forme

(§XXII); l’équation générale A,V = o, se réduit donc, dans le cas actuel, à

da ’ ’ *

puisque la dérivée seconde en z est nulle partout.

Il s’agit de déterminer une fonction V de (a, j3) vériGaiit l’équation (a), qui se réduise successivement à deux fonctions données de |3, quand « = a', quand « = a", et à deux fonctions aussi données de a, quand (3 = (5', <{uand (3 = 3"; de telle sorte que les quatre équations à la sur-

face

jv^, =B'(«),

SUR LES CÜOBOOMNÉL.S CURVILICRES, ETC. l8l

soient satisfaites. (Les accents des indiquent ici

des fonctions ditlérentcs, et non des dérivées.) Dans les fonctions (3 ne varie qu’entre j3' et j3"; dans les fonctions Bl-' ), oc ne varie qu’entre «' et oc".

Le problème d'analyse qui vient d’étre énoncé, se résout ainsi qu’il suit. Ou prend d’abord pour la fonction V une série de la forme

V = §MFF,;

chaque terme vérifiant séparément l’équation ( 2 ), et étant le produit de trois facteurs, savoir : d’une constante indéterminée M, d’une fonction F de a seul, d’une fonction F’, de ^ seul. On imagine ensuite que la série totale V soit décomposée en quatre séries partielles, t liacune d’elles se réduisant à zéro sur trois des faces latérales, et reproduisant la fonction A^'t) ou B‘'>, correspondante à la quatrième de ces faces. 11 suffit alors de savoir comment doit se composer une quelconque de ces séries partielles, pour que l’on puisse en conclure les trois autres, et par suite la série totale.