SOLUTION PARTIELLE

Celle des séries partielles qui doit reproduire la fonction A'((j), résoudrait à elle seule le problème proposé, si les équations à la surface étaient particulièrement

jV,. = A'(P), V^. = o.

jv^,=o, V^.= o,

Or, si l’on convient de représenter par les symboles F,(«), £(f), les cosinus et sinus liyperbolic|ues de la variable e; c’est-à-dire, si l’on pose

LECÜ>S

on reconnait sans peine que la série pariîelle dont il s'agit, doit être de la forme

sinl«(p - fl')],

où n romplace, pour simplifier, la fraction

# JT

I étant un nombre entier quelconque, qui diflére d’un terme à un autre.

En efl’et, d'après les propriétés connues des fonctions C et sinus, chaque terme simple de (6) vérifie ré(|uation ( 2 ), et s’annule, pour j3 = f5' par sin 0 = 0 , pour (3 = (3" par sin i~ = O, pour a = a" par C(o) — o. Ainsi, la série (6) vérifie l’équation linéaire aux diflérences partielles (a), et satisfait aux trois dernières équations à la surface (4). Pour qu’elle satisfasse à la première, ou qu'elle reproduise la fonction A' (|3) lorsque a z= a', il faut que l'on ait identiquement

i = oc

quand |3 varie entre les deux limites infranchissables |3' et (3". Il ne s’agit plus alors que de déterminer la valeur que le facteur constant M doit avoir dans chaque terme du premier membre (8). A cet effet, on fait usage du théorème suivant.

Si i, i', sont des nombres entiers différents, et n, n', les deux fractions correspondantes, on a identiquement

(p) r sin /J (P — p').sinn'(P — fi')dpz=o:

Sun LES COORDONNÉES CURVILIGNES, ETC.

car, l’intégrale indéiinie de l’élément diiréreuticl du premier membre, laquelle est

(lo)

sin(fi'— «)(p— P') sin(/i'-f-/i)(p — P')

se réduit à zéro, à la limite (3 = ^', par sin o = o, et à la limite |3 = j3" par sin (/' rp i) tt = o. En outre, si n' = n, la seconde fraction (lo) s’annule encore aux deux limites, mais la première fraction, qui se requit à ^ (j3 — (3'}, ne s'annule qu’à la première limite, et devient j (P" — (3') à la seconde; ce qui donne, au lieu de ( 9 ), l’intégrale déünie

(|>) jr\io>„(p-p')rfp = lI:^.

Maintenant, le coefficient M du terme de la série ( 8 ) qui correspond à l’entier j, s’obtient, en multipliant l’identité ( 8 ) par le facteur sinn (j3 — (3'j ei^, et intégrant les deux membres, depuis (3 = |5', jusqu’à (3 = j3". Car, cette dernière opération fait disparaitre tous les autres termes, d’après le théorème { 9 ); et l’on a définitivement

sinn(p —

à l’aide de la valeur ( 11 ). On pourrait vérifier, par les méthodes exposées dans le cours A' Algèbre supérieure, ou par celles que l'on doit à M. Dirichlet, qu’avec la valeur générale (ta) du eocilicient M, la série périodique, qui compose le premier membre de l’équation ( 8 ), reproduit exactement les valeurs données au second, entre les limites (3' et (3" de la variable (3. D’où résulte, qu’avec cette même valeur (la), la série ( 6 ) donne la solution du problème proposé, quand les éijuations à la surface sont celles du groupe ( 4 )-

LEÇO>S