CIV

KQUATION DUN VOLUME CYLINDBIQUE.

l a lormiilc (i8), ainsi vio’ifiéc, conduit à un théorème

SIR LtS I.OORDl>>,NÉKS Cl R V I I.IGIV Es, ETC. I 87

d’analyse remarquable. Si les quatre leinpératures A»''), B('>, sont toutes égales entre elles, il est évident que la température stationnaire V, de tout point intérieur, doit être égale à l’unique température üxe de toute la surface; il faut donc que ré(}uation (i 8 ) soit une identité, quand on supprimera les cin<( facteurs A', A", 1?', B", V, devenus tous égaux. Si l’on remarque que les sinus et cosinus hyperboliques C et E vérifient les formules

aussi bien que les sinus et cosinus ordinaires, on mettra facilement l’ideutité dont il s'agit, sous la forme

V n 1 Êf ^

«"-t-a'XI

Cj n \çl

2 / J sin n ( P — P ' )

sin /w (a — a'

où m et n ont les valeurs générales ( 17 )-

A l’aide de formules empruntées à Legendre, on parvient à constater que la somme des deux premières séries

est constamment égale à quand on donne à a une valeur

quelconque, comprise entre a' et a.", à /3 une valeur quelcou({ue comprise entre fj' et |3". Mais les deux membres de ( 20 ) ne sont plus égaux quand a ou (5, ou « et /3 sortent de leurs limites, carie premier membre devient alors infini, par suite de la divergenee des deux séries ou de l’une d’elles.

Ainsi, l'équation (ao) est vérifiée par les coordonnées

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(a, (i) de tout point situe à l’intérieur du corps projKtsé, et non par celles d’un point extérieur. C’est donc, en réalité, l’équation du volume compris entre les quatre cylindres aux paramètres {«', /S', jS"). Cette équation embrasse

même tous les points situés sur la surface qui limite ce volume ; mais à l'exception de ceux qui appartiennent à deux faces.

En effet, pour « = «!>), ou pour j 3 = / 3 </') seulement, tous les termes de l’une des séries (20) s'annulent; et, dans la série qui reste, la fonction E de chaque numérateur devient égale au dénominateur correspondant; en sorte que le premier membre, se réduisant à une série (19), est identiquement égal au second. Tandis que, pour « = «'•'* et à la fois, les deux séries s’annulent, et l’équation {20) n’est plus vérifiée.

En un mot, l'équation {20) représente le volume cylinilrique du corps proposé, surface latérale comprise, mais moins les arêtes. Ou bien, en restant sur le plan d’une des sections droites du volume cylindrique, l’équation (20) représente la surface plane du rectangle curviligne compris entre les directrices («', et", ( 3 ', |S"), les côtés compris, mais moins les sommets.