GÉNÉRALITÉ DES CVUNDRES ISOTHERMES
Kous considérerons, dans les prochaines leçons, d’autres systèmes empruntés aux formules primitives (i), afin d’étudier de près tout ce qui concerne les signes elles limites des paramètres thermomélriques. Mais, avant d'entreprendre cette étude, il importe de faire bien compr.' ndre que les solutions, exposées dans cette leçon, embr? ..sent tous les
19'i LFCOMS
syslèiiies di; cylindres conjiij;uéN, dont les paramètres (a, (i), indépendauls de r, vérifient les deux équations
ftp ^
dx dy '
dy
dr
desquelles résultent toutes les conditions essentielles à ces applications. Savoir : i° l'orthogonalité des deux familles de cylindres, par l’identité
da. dp du rfp
dx dx dy dy ** ’
a” leur isolliermie, puisque la dillérentiatinn donne
dx^
d’ a rf’P
rf)’ ’ </.r’
dy’
3" enfin l’égalité des deux paramètres diflérenticls du premier ordre, car on a
Fn réalité, le groupe (i) est une forme donnée aux intégrales des équations aux dilférences partielles ( 22 ), mais ce n’est pas la seule. Avec deux fonctions déterminées (a^ (i) , vérifiant les équations (aa), on compose deux autres fonctions (P, Q), jouissant de la même propriété, <m posant
\P = log^<,
/Q = arctangï,
où est la valeui' commune des deux radicaux
SUR LES coordonnées CURVILIGNES, ETC. IgS
et ^ la valeur commune tics deux fractions
rfp (ht
dx dr
d.T . dy
En effet, outre les identités (a 5 ) et (26), les équations (aa), jointes à leurs corollaires (a 3 )^ établissent celles-ci
1 dt rf’P
rfp d't
f/prf’P dxd't
1 dx d.r’
dx dx'
^ dr dy' ' dy dy'
j da f/'p
rfp d't
da.d'^x
1 dy dr'
dy dr ’
dx dx^ fix d.r^
car, en substituant dans les numérateurs des premiers membres, à chaque dérivée première sa valeur déduite du groupe (aa), à chaque dérivée seconde sa valeur déduite du groupe (a 3 ), on obtient les seconds membres. Or, d’après les équations posées (a4), et les valeurs (a5) et (26), ces identités (27) peuvent s'écrire ainsi
MQ rfP 'dr~ t/.r'
donc les fonctions P et Q (24) vérifient les équations aux différences partielles (aa).
Ces équations linéaires seront conséquemment vériffées par les séries
I Q = ^ Ç arc tang ?,
ig4 LEÇONS ^
où les (>|(, J) (lilïèrenl, d’un terme à l’autre, par les (a, |5) qui les eornposent. Si les (« , p) sont empruntés au groupe (i), on aura, dans le groupe (ap), une seconde forme d'int^rales. On en déduirait une troisiènu' de la même manière.
I,a forme intégrale la plus concise est donnée par l’équation
(3o) fj 4 . a J- + J I ),
où F indique une fonction quelconque du binôme
car l’identité
(ar 4- V V— I ) ,
ilY , f/F
7 } ~ rfï’
exprimée à l’aide des fonctions réelles (a, ji), dcvicni
f/p lia j
rfa ; ria f/B ,
tly dy dje dx'
et reproduit essentiellement les relations (aa).
$ CVlll.
eVUNDRES HOMOFOCAÜX.
Par exemple, la forme (3o) conduit très-simplement ati système des cylindres homofocaux du second ordre, lorsqu’on pose
P -t- * ^ — I = arc sin
équation d'où l’on déduit : 1 “ à l’aide d’une extension trigonométrique connue, la relation inverse
