X -t-/ V — ' = [E(a)sin P ■+■ t/— i •^(a)cosp

SUR LES COORDONNÉES CURVILIGNES, ETC. igS

2“ par séparation, les valeurs

x = cE(a)sinp, X = cC(a)cosP;,

3 ° par 1 élimination successive de a et de les équations des cylindres conjugués

sin’p

cos' P

4° enfin, par l’introduction des axes 1 cE(a)z=^

csin P = V

d-où

( ccosp = — y’,

les mèmes'équations présentées sous la forme habituelle et caractéristique

\ ti * a’ — <•* *

On peut donc appliquer les solutions (i 5 ), (18), (20), (21), aux corps limités par des cylindres elliptiques et hyperboliques homofocaux, en se servant essentiellement des paramètres thermomélriques (a, ( 3 ), qu’expriment les intégrales

rf/i

En général, s’il suffit de constater la vérification des équations (22), pour en conclure que les cylindres con jugués sont

ll)(j 1-F.ÇONS

oiilioj^uiiaux, ei que leurs paramètres ilinéreniiels du premier ordre sont égaux, réei|)roquemeiit, de celle égaillé el de celte orthogonalité reconnues, on peut conclure la vérification. *■

F.n edèl, les deux équations

ayant lien, par hypothèse, on peut les iiicllrc sons (orme

el, ajoutant à la première, la seconde multipliée par a — i , on a

/ tlh (ix

d’où l'on déduit, en extrayant la racine, soit l’t'quation (3i), puis le groupe (aa), soit cette équation, puis ce groupe avec a en place de (3 et réciproquement, ce qui ne change rien à la conclusion. La vérification ayant lieu, les équations ( a3) n’en sont que des conséquences.

Donc, quand ou a reconnu que deux familles de cylindres, aux paramètres a, (3, se coupent à angles droits, el (pie leurs paramètres dillérentiels du premier ordre sont (■gaux, on peut en conclure : que ces deux famill(;s sont isothermes, que a, (3, sont précisément leurs paramètres ihermoméiriques, cl qu’on peut leur appliquer les solutions générales, exposées dans cette leçon.

Par exemple : on a ]K>sé, dès l’.djord , les deux é([üa-

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StR LES COORDO.NfiÉt.S CL R V I I.ICN ES, Elt. l})^

lions (35), reprcseiilaiil lies L'iiipscs L'I tics livpoibules aux mêmes foyers F et F'. Ces deux familles sont urtliogoiiales, puisque, des deux courbes conjuguées qui se coupent au point M, l'une a }K>ur normale, el l’autre pour tangente, la bissectrice de l'angle FMF’'. Par des raisons de symétrie el d'homogénéité, on cherche des paramètres (a, fi), tels (|uc les deux axes de chaque courbe, qui ont même importance, aient des expressions homologues, sans subordination de l'iineà l'autre. Ce qui conduit : aux valeurs (34),

écrites inversi.-menti a” aux équations transformées (33) ; 3" culiii aux formules (3a), lesquelles donnent

ou bien /t, =/i. Kl l’on peut appliquer, au cas actuel, les trois conclusions de l’article précédent.

Les diverses formes, trouvées au ^ CVll, pour les intégrales générales des équations ( aa ) donnent des séries d’intégrales particulières, qui ne sont pas nécessairement distinctes. On pourrait même déniontrer que toutes ces formes rentrent dans celle qui passe par les imaginaires. Toutefois, nous adoptons exclusivement la forme primitive (i), qui, étant née de la considération des potentiels cylindriques, semble mieux a]>propriée que toute autre, à l’élude des phénomènes naturels. 11 y a même de fortes raisons de croire que cette forme recèle toute la théorie raalhématiqne des courants électriques. Quoi qu’il en soit, les potentiels cylindriques pourront donner lieu à des recherches imjiortanles; si l’o^i en juge par les travaux d’un jeune géomètre, M. Haton , qui a su tirer, di: ce sujet à peine inauguré, des généralisations très-r<'marc[uables, au point de vue de La géométiie.

ip8 LEÇONS

Quant à nous, qui n'avons d’autre but, dans les leçons actuelles, que de bien faire connaître un nouvel instrument, celui des* coordonnées curvilignes, nous devons nous borner aux questions de la théorie analytique de la chaleur, dont les solutions sont numériquement applicables k tous les systèmes cylindriques isothermes. Or, chacune de ces applications exige l’étude préalable des signes et des limites, ({u’il convient de donner aux paramètres thermométriques du système considéré, suivant la question que l’on traite. 11 importe donc d’indiquer comment peut être dirigée cette étude, en prenant pour exemples, ou pour cadres, les systèmes cylindriques isothermes les plus simples, après celui des coordonnées polaires. Tel sera l’objet des deux leçons qui vont suivre.

Sllll 1 .KS •COOROOMIVÉK^ CU RVIl.KJMtS, E'IC.