SRS DEUX FAMILLES
Le système de potentiels cylindri(|ues et conjugués, dont les paramètres therraométriques sont
I , ■içr+TfTr (,) I ^ <^(x-c)‘+ jr^
I P = arc tang — — arc tang — —
est compris dans les valeurs générales (i), § XCIX. Chaque |K)tcnticl est alors réduit à deux tejmcs, dont les coeflicients sont égaux à l’unité, et de signes contraires. Lepremicr potentiel indique deux droites, Tune attractive, l'autre répulsive; l'origine des [x, y) est au milieu de la distance ac qui sépare ces deux droites.
Passant du logarithme, exprimé par la première (i), au nombre correspondant, et adoptant la notation des E, U, (5) § CI ; évaluant la tangente de l’angle j5, din'ércncc de deux angles dont les tangentes sont exprimées en (x, y) ; on arrive facilement aux éxjuations
l X» -H c’ = 7.CX
j COS 6
— c‘ = 2cr-r-—>
LEÇONS
qui définissent lrès-si|nplement les deux familles de cyliu' dres isothermes dont il s’agit.
Fie- I-
Soient, sur le pian des xy, C la trace de la droite attractive, C' celle de la droite répulsive, M un point quelconque. La première (2) représente le cercle, lieu géométrique des |K)ints M, tels que le rapport (e“) des rayons vecteurs, ou MC' ; MC, est constant. La seconde (2) représente im •segment capable construit sur CC', c’est-à-dire le cercle, lieu géométrique des points M tels que l’angle (( 3 ) des
rayons vecteurs, ou CMC', est constant. Les cylindres (2) sont donc tous à bases circulaires, mais excentriques.
On obtient sans peihe les valeurs des (x,y) t-n fonction des coordonnées tbermométriques (a, P). Retranchant la seconde (2) de la première, et supprimant le facteur commun 2C, on a
E ( a ) COS B
c (a) smp
ajoutant, au contraire, les équations (2), divisant par 2, et remplaçant le facteur c du second membre par sa valeur ( 3 ), il vient
E’fa) ,cos’P sin’P ’
OU bien, réduisant, à l’aide des relations homologues qui lient les sinus et cosinus, soit ordinaires, soit hyperboli-
'iUl
ques, puis extrayant la* racine carrée
i^(a) sinp
£ii6n, les deux éijuations (3) et (5), du premier degré en (x,jy), donnent par élimination
rC(a) •
E(a) — cos P ’ csin^
E(a) — cosp ’
jK>ur Jes formules de transformations cheÿ%(iéei- U en résulte que X s'annule et change de signe aWj^, y avec La suppression du double signe, lors de 14|niràction de la racine carrée, n’a fait qu’assigner le sens des xou desy.positifs.
Les paramètres a et (3 ayant été respectivement substitués à ceux P et p,, les équations (a), mises sous la forme
^smp/
icpréscntent les deux arcs ou lignes de courbure s, et s •lu système orlbogoual actuel, et donnent immédiatement, jiourles deux seules courbures qui ne soient pus nulles.
I sin^
Or, ici, les deux paramètres dill’ércntiels du premier ordre. et h, doivent être égaux (§ XCV) j les formules généra-
*i02 LE*;o>s
h*s (24), du ^ XXX, (iouneroiil dout- les dérivées
dh C ( a ) da. c dh sin P
et l'on rn déduira, par intégration,
y étant une constante absolue, qui reste à déterminer.
§ ex.
SES l'AK.VMÈTRES TllERMOMÉTKiyUES.
Le paramètre a (1) a pour valeurs extrêmes, l’inlini négatif sur la droite répulsive dont la trace est C', et l’infini positif sur la droite attractive dont la trace est C; il est égal à zéro sur le plan des jz, dont tous les points sont également distants de ces deux droites. Ainsi la famille dc.s cylindres a commence et finit par de simples droites; elle comprend un plan, qui la partage en deux suites, égales et symétriques, l’une, des cylindres dont le paramètre est négatif et qui entourent la droite répulsive, l’autre, des cylindres dont le paramètre est positif et qui entourent la droite altractive.
paramètre (3 (1) étend ses valeurs entre zéro et un.
. Fie- 3-
Sun LES COORDONNÉES CCRVII.ICNES, ETC. Uo3
Le cercle, représenté par la seconde étjua lion ( 7 ), comprend réellement les bases de deux cylindres, aux paramètres (3 et 1 ; + |3, puisqu'il se partage entre les segments capables , de ces deux angles. C’est-à-dire que toute surface cylindrique, définie par une valeur déterminée du paramètre /3, a pour limites infranchissables les deux droites actives dont les traces sont C' et C.
L'arc ou la ligne de courbure s,, qui corre.spoud à une valeur déterminée de at, comprend tout le cercle représenté parla première équation ( 7 ); et la coordonnée /3 y varie entre les deux limites o et atr. Mais l’arc s, qui correspond à une valeur déterminée de [3, ne comprend que l’un des segments capables représenté par la seconde ( 7 ); il a pour extrémités infranchissables les traces C' et C; et la coordonnée « y varie de — oc à -f- 00 . L’arc x, corresponilant à (3 = O ou à P = a 7 T, se compose des deux parties de l'axe des or, situées en deçà de C' et au delà de C. L'arc s, correspondant à p = tt, se réduit à la droite CC'.
Le paramètre p, n'entrant dans les équations (a) et ( 6 ), que par son sinus et son cosinus, s'il est augmenté ou diminué d'un multiple quelconque de a n, il définira toujours le même cylindre. D’après cela, ce paramètre peut être considéré comme ayant ses valeurs comprises entre — n et -(- n. Alors, la partie CC’ de l'axe des x correspond à P = ± it, et tout le reste à p = o. Les formules ( 6 ) conduisent d’ailleurs à la même conséquence ; car, considérant le côté des a positifs, si p est /.éro, on a‘
I V L(aj — I
d’après la relation (^’ = F,* — 1 ), tandis que si p est égal à -t- îr, ou à — 7:, 011 a
□o4 LEÇONS
(l’oi'i résulte clairciiieiit (juc x surpasse c tiaiis le premier eus, et qu'il lui est inférieur dans le secuud.
