SOS PARAMÈTRE DIFFÉRENTIEL

Ainsi, le milieu O de la distance CC', ou l’origine des (x, j), a pour équations

Ot = O, P = if.

En ce point, l’arc s est rectiligne, cl sou élément (h se réduit à la valeur infiniment j>etite de x (6), qui est c — • On a donc, en O,

Autrement : il résulte des valeurs données aux constantes (}, dans le potentiel cylindrique linéaire <x (i), que l'altraclion et la répulsion, exercées par les droites C et C', sur l'unité de masse placée à l’unité de distance, ont une intensité égale à l’unité; or, ces deux forces variant en raison inverse de la simple distance, leur résultante, qui est partout égale .à A, et dirigée suivant la normale positive de la

surface a, sera évidemment - au milieu de CC'.

Ainsi, l'intégrale (8) doit se réduire .à (|uand a. est nul,

cl (3 égal à r. La constante y est donc nécessairement nulle, et l’on a généralement

(!ette valeur du paramétre dilVérentiel <lu pri'mier ordre, est <l’ailleurs celle qu’on ohliciii directement , en déduisant

lies formules ((i) les expressions

de cl faisant usage de ridcnlité

[E (a) cos ,9 — I V -t- («) sin’p = [E (a) — ros , 8 ]%

facile à établir.

Les coordonnées curvilignes (a, (i) étant siiflisaiii-

uient définies, appliquons à ce système, orthogonal et triplement isotherme, les solutions générales de la leçon précédente. Le caractère spécial, de cette application particulière, consiste dans les doubles valeurs données au paramètre thermométrique car, suivant la question que l’on traite, il faut regarder ce paramètre, comme restant positif entre zéro et 27:, ou comme variant entre — tt et

Par exemple, si l’on considère, sur un même cercle a, deux points M et M' situés, l’un au-dessus, l’autre au-dessous de l’axe centrai CC' (Jîg- i), et qu’il s’agisse de faire la sommation de certains éléments répartis sur l’un des deux

arcs M.\r ; on fera croître la coordonnée fï d’une manière f'ontinuc, de M en M' pour l’arc M AiM' qui coupe l’axe central entre C et C', de M' en M pour l’arc M' A'M qui coupe cet axe sur le prolongement de C'C; ce qui exige que (3 ait ses valeurs comprises, entre zéro et 2n dans le premier cas, entre — 7: et -f- tr dans le second. «

. • § exil.

SES propriétés GÉ0.MÉTR1QUKS.

Au point de vue restrictif <lii § CV, les propriétés des cercles (a, p), représentés par les équations (2) ou (7),

ao6 LEçons

ramènent, à la géométrie élémentaire, la détermination des courbes isothermes et des filets de chaleur, dans les divers cas embrassés par la formule (ai) du paragraphe cité. On a d'abord deux théorèmes généraux, qu’il suffira d’énoncer.

Théorème 1. Si d’un point quelconque. A, de la droite a = O, que nous appellerons axe radical, on mène des tangentes à tous les cercles a, toutes ces tangentes sont ^ales en grandeur, comme étant les rayons du cercle |3 dont le centre est en A [fig. i)-

Théorème II. Un cercle P coupe l’axe radical aux points- D et D'; pour déterminer le cercle a qui passe en un de ses points M, on mène les droites MD, D' M; les points A, A', où ces droites rencontrent l’axe central CC', assignent un diamètre AA' du cercle cherché; et le logarithme du rapport AC' ; AC donne son paramètre a [fig. i).

Viennent ensuite plusieurs problèmes, dont il suffira d’esquisser les solutions.