I.ECüXS

ilfux ^ciiéralricL'S ^ I uni; de eus |iurties Uhl ciilieleiiuc à T.éro, l’auire à la leiiipéraliire i. 11 s’agit de déterminer les lenipcratuies stationnaires du cylindre, scs surfaces isothermes, et ses filets de chaleur.

I.a section droite du cylindre coupe les génératriceslimites aux points C et C {Jig- 2 ), et la sut face totale suivant deux segments capables, l’un à zéro, dont le paramétre est un angle l’autre à la température i, dont le paramètre posilij est îi-l- On construit aisément le filet de chaleur or, et le segment capable isotherme j5, qui concourent en tout point désigné, M, du cylindre solide. Le paramètre positif^, compris entre p' et 7 ; (3\ a une va-

leur angulaire facilement assignable. Puis, la formule

donne la température stationnaire en M. Par exemple, si = -) et que le point M soit pris sur l’axe central, sa température sera (3 étant alor.s égal à r..

Problème V. Un canal cylindri(|ue, à base circulaite, est percé dans une masse solide indéfinie; sa paroi est partagée en deux parties que limitent deux génératrices; l’une de ces parties est entretenue <à zéro, l’autre à la température I. Il .s’agit de déterminer les tempé-ratures de la masse solide, ses cylindres isothermes, et ses filets de chaleur.

La section droite du canal, coupe les génératrices-limites aux points C et C, , et la paroi suivant deux segments capables, l’un .à la lem|iérature 1 , dont le paramètre est un angle fi', l’autre à zéro, dont le paramètre négatif est fi" = — TT ji'. Oii construit aisément le filet de chaleur a, et le segment capable isotherme /S. qui concourent en tout ])oint désigné, IM, de la masse solide. Le pai amètre p, compris entre — t: fi' et valeur angulaire, positiie

OU négative, facilement assignable, puis la formule

donne la température stationnaire en M. Par exemple, si ?’ = -» et que M soit pris sur l’axe central prolongé, sa température sera — ; (3 étant alors égal à zéro.

Problèmes VJ et VU. Une surface cylindrique indéfinie, ayant pour base discontinue le segment capable d’un angle /3' et la droite CC', limite une colonne pleine, ou

Fîr. 6.

forme la paroi d’un canal traversant une masse solide. La partie courbe, de la surface de la colonne, ou de la paroi du canal, est entretenue à la température i, la partie plane à zéro. Il s’agit de déterminer les températures stationnaires, de la colonne, ou de la masse solide qui entoure le canal.

Dans la colonne, le paramètre (5 est compris entre (3' et ff; la température est

Dans la masse solide entourant le canal, le paramètre des surfaces isothermes, croît de — ir à J3', et la formule

V — ” P ir-t- P'

exprime leurs températures stationnaires.

LEÇONS

§ CXVl.

l’IUSMES CURVIUGNES.

llcvcnoiis maintenanl au cas {général, où les icmpcralures fixes, cl données, dillêreiil d’une génératrice à une autrg, sur la surface du corps cylindrique. Pour plus de clarlé, transcrivons ici la série (i 5 ) du § ClI, qui résout la question dont il s’agit :

(io)V = /

q".(r-fn " ‘ '■

Lorsqu'on se propose d'applûjucr celte formule à un prisme indéfini, dont la base discontinue est comprise entre deux cercles a et deux segments capables /3 (i), il faut ' évaluer exactement les paramètres a' et a" de ces cercles, jS' cl jS" de ces segments capables, afin de com|)OScr les fractions

facteurs des arcs et des exposants, et les coefficient.s

J^, A</)(?)sin/»(p-p')rfp, 2 r *"

— ; I B(>)(a)sin/w (a — a')'/*,

facteurs des termes de la série totale.

Il faut se rappeler que la série (10) ni- reste convergente, ou ne donne les températures stationnaires, que pour les points dont les coordonnées a, j 3 , sont respectivement coin-

sin LES coonnosM^.ES cl'hviligives, etc.

ai3

prises, cnlrc a' el et", eiure ji' cl ji". D’où icsuilc que la formule (lo) n’est pas applicable, lorsque le corps cylin- (li'i(|ue comprend des points dont les coordonnées sortent de ces limites, ou n'appartiennent pas, chacune, à une génératrice située sur la surface discontinue.

Exemple /. Le prisme indéfini est un tube à parois circulaires excentriques-, sa base est comprise entre deux cercles a complets, l’un extérieur, dont le paramètre est a', l’autre intérieur doutlc paramètre est Les frac-

tions m et les coefficients \l!)0) n’existent pas. On peut

prendre = o, ji" =: 2 7t ; n se réduit à — > et l’on a

Ç A(.ti(p) sin — </p.

* Jo ^

Exemple JJ. La base du prisme est la moitié supérieure de la préccxlente, coupée par l’axe central (fig. 3). — On a

d’où n = et

.Mv) = - / AU)(p)sin»p</p.

Les w et les qui existent, ont les expressions (ii) et ( 12 ).

§ CXMI.

CYLINDRE BI-CANNELÉ. r ••

Exemple JJJ. La basc9du prisme indéfini est limitée : i" par deux arcs concaves appartenant à deux cercles a de

même rayon, ayant pour paramètres, l'un a' = ;

1 autre a" = -t- «o? 2 “ par deux arcs convexes appartenant a deux segments capables j3, géométriquement égaux et opposés, ayant pour paramètres, l’un |3' — l’autre

214 leçons

|6" = ait — /3o. — On reconiiait facilement que tout point de 1’ aire plane, enveloppée par ces arcs, a sa coordonnée a.

Kig. 7.

comprise entre — «« et + «o> sa coordonnée /3 comprise entre p# et ait — Po- L* série (10) donne donc les températures stationnaires de tous les points du prisme solide dont cette aire est la base, quand les facteurs constants ont les valeurs

tir itt

771 nu — > n 1

fa, •

,»,(/) ^__L^ P’' ^AO)(p)sinn(p-p.)rfp,

= — I B(t ) (a) sin m { a 4- «t )

Exemple IV. La base du prisme n'est que la moitié qu’on obtient, en coupant la précédente par Taxe radical, et supprimant la partie située à gaucbe (fig. 7). — On a

pu) — — j ) (a) sin mar/a ;

P', P", n cl s’expriment comme dans l’exemple 111.

SL'n LES codiiDOMKÉrs r.i u\ ii.ir.NF.s, r.rc.

Exemple /' . La base il u pristno n’esl plus que ce qui reste, en coupant encore la précédente par l’axe central, et supprimant la partie inférieure {fig. 7 ). — On a