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Ces étjiiatiuns ( 2) et ( 3 ) représentent, soit les eylimlres dont i! -s’agit, soit les eourhes orthogonales et isothermes qui leur spr>eiil de hase.

L’équation (2) représeiilc le lieu géométrique du point M tel que le produit (c’ t*a) des rayons veeleurs, ou MC. .MC', est constant; ee qui donne une faïuillcde leinniscales, dont il importe de bien préciser les formes diverses. D’après la seconde (2), on a

r = O, X = db c ,

cpiand le paramètre a atteint sa limite supérieure oc ; le cylindre se réduit alors aux deux seules droites attractives, et sa hase aux traces C et C/ de ees droites. A la limite inférieure — oc de a, l’équation (2) se réduit à

(caries x, étant infiniment grands, les termes en x’, y*, disparaissent devant ceux en x‘, x* y’, r*) ; le cylindre est alors à base circulaire, mais son rayon est infini. Lorsque a = o, l’équation (2) devient

et représente la lemniscate ordinaire, que nous appellerons radicale; en son point multiple, et de double inllexion, situé à l’origine O, les deux tangentes sont les bissectrices des angles des axes, puisque, si x et }' sont infiniment petits, on déduit de ( 4 ) le double rapport

StR LES COOnD0I(^ÉES CURVl LICNES , ETC. 2 11)

L’i^ualion difl’ércntielle de toutes les courbes {2), qui est

{x’ — <■’) (.rrfj: -i-ydr ) -4- 2 c^ydy = o,

donne, en annulant successivement r/x et fiy, savoir

dx=zo, (x’ = O, rfr = o, (x’-t-r^ — r’)x=o.

D’où résulte <]ue tous les points des courbes a, où la tangente est parallèle aux sont sur l'axe desx; tandis que les points de ces courbes, où la tangente est parallèle auxx, sont situés, les uns sur l’axe des j, les autres sur le cercle dont CC' est le diamètre.

Or, l’équation (2) donne: 1° quand ■)= o, pour x* les deux valeurs

2 ” quaud x = o, jKmr ’ la seule valeur

qui puisse être positive; 3 ° et quand .r* -\~y' =c’, le couple

Pour toutes les valeurs de a, .r" est réel ; x' et y,, qui sont nuis pour la Icmniscate radicale, ne peuvent exister ensemble pour toute autre courbe : quand a est positif, c’est x'qui reste seul ; quand a est négatif, c'esty,. On peut donc dire que toutes les lemniscales (a) ont quatre sommets : ils sont tous .situés sur l’axe des x quand a est positif; deux sont sur l’axe des x et deux .sur l’axe des y quand a est tn'-gatif; et rpaiid a est nul , l’origine O compte pour deux.

Les quatre points, M,, aux coordonnées (.r,, ^1), n’exis-

aao

l.K'O.NS

leiil (|iiü |)Our les valeurs de a telles que e~” ne dépasse pas 2. A eetlc limite, où a est négatif et égal à — log 2, x, est nul, > , et y, sont égaux à c; les points M, se confondent, deux à (leux, avec les sommets situés sur l’axe des la courbe a, en qtiebjue sorte, de longues tangentes à ces deux soinmels, et nous l’appellerons la lenmiscate aux longs CO a tac/ s.

S cxx.