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FA.Mll.LE DRS IIYPERBUI.ES.

L’éi[uation (3), seconde forme, rcjnésenic le lieu géométrique <lu point M, tel (]uc la somme (5 (i),ou MC A-+-ÎV1C'A,

Fi{». 2.

des angles que font, avec la ligne fixe C'CA. les deux ravons vecteurs, est constante; ce (|iii donne une famille

224 l-EÇONS

iriiyberbolos é(|iiilaièrcs, [>Hssanl loiiles par les points Cet C^, puisque l’éqiialion (3) est satisfaite par

quel que soit (3. Mais, comme on va le voir, chacune de ces hyperboles se divise en quatre parties, qui correspondent à dés valeurs très-différentes du paramètre Ne considérons d’abord que les j)oints du plan des bases, situés dans l'angle des X et des J' positifs.

Le lieu géométrique du point M, tel que la somme angulaire f3 soit nulle, est évidemment toute la partie de l’axe des X située à droite de C (les deux angles MCA, MC' A, étant îëro); comme -l’indique d’ailleurs la seconde (i), qui donne ^ = o, si j devient nul lorsque x est plus grand que c. Donc, la base du cylindre au paramètre |5 = o, se réduit à l'axe des X ( côté positif), moins la ligne UC.

Pour (jue la somme angulaire |3 soit égale à t:, il faut que l'angle MCA soit le supplément de l'angle MC' A; ce qui place le point M, ou sur le càlé positif de l’axe desj , ou sur la droite qui sépare les points C et C' (MCA étant alors égal à n, et MC'A à zéro). Donc "la base du cylindre au paramètre (5 = 7:, se compose de la partie CC' de l’axe des X, et de tout le côté positif de l’axe des jr.

Quand fi est égal à l’équation (3) se réduit à x’ — r’=c'

et représente l’hyperbole partit ulière, que nous appellerons maxùna, dont les asymptotes se confondent avec les tangentes au point multiple de la leinniscatc radicale. Mais, le

paramètre (3 = - n’appartient qu’à la demi-branche de cette

bypcibole, qui s'élève dans l'angle droit des x et y positifs, et sur laquelle la coordonnée a épuise toutes ses valeurs, depuis — - oc justpr.à + co .

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SUR LES COORDONNÉES CIRVIUGNES, ETC. asS

Celui des cylindres jS dont le paramètre est [3z= ,

doit être compris entre ceux qui correspondent à (3 =: o, et

à (3 = ^ ; il s’étend nécessairement vers l'infini, puisqu’il

doit y couper orthogonalcment le cylindre droit au paramètre a = — 00 ; là, ses coordonnées x et y sont infinies; l'équation (3), première forme, qui devient

exige que l'infini x surpasse l'infini ) , et donne pour leur rapport

Ainsi la base du cylindre dont le paramètre p est /, positif et moindre que fait partie delà branche d’hyperbole équi-

latèrc dont l’asymptote fait avec l’axe des x l’angle-, elle

vient de l’inflni où a — — oo , et se termine en C où a = -t- 00 , après avoir coupé toutes les Icmniscates.

Celui des cylindres (3 dont le paramètre est ji = n — /,

où 1 est moindre que doit être compris entre ceux qui

correspondent à /3=^, et à ^ = il s’étend nécessairement à l’infini; là, ses coordonnées x et y sont inGnies; l’équation (3), première forme, qui devient,

Î.KCOKS

<[U<* riiilini y suipasst: Pinlini x, H ilotiiu* j)t»ur l*‘ur rapport

Ainsi, la base du cylindre donl le paramèlre '(j esl r , — /,

/' étanl moindre (|ue ^5 fail partie de la branche d’bvper-

bole équilalèri’, dont l’asymptote fail avec l’axe des t l’an-

cle elle vient rie l’inliiii et s’arrête en V..