CXXIII

PARAMKTRl-: DF>s lIVPEUBOLr.S.

Kn répétant la même discussion, pour les points ilu plan des bases, situés dans les autres angles des axes rectilignes, on arrive aux conclusions suivant«-s : I,a coordonnée curviligne ^ a toutes scs valeurs comprises entre o et :

fi = O . représente la jtartic positive «le l’axe des x . moins CO ;

3 = 7:, la partie positive de l’axe des y, plus Cü, et plus OC’ ;

|3 = -iî:, la partie négative de l’axe des a', moins OC';

(3 = 3?:, la partie négative de l’axe des » , plus C'O, et plus (jiC;

f = 4::, la partie positive de l’axe des x, moins OC.

Si l’un mène, par l’origine O, les quaire droites, faisant, soit avec l’axe des x, soit avec l’axe des y, et de part et

d’autre, un angle moindie que «juc l’on trace ensuite

les deux hyperboles équilatères, passant en C et C', et dont ces droites sont les asymptotes; ces iiyj)erboles compreudiont chacune quatre parlies, dont les paiamètri’s (3 seront.

SUIl LES CüOni)ON.''IÉK.S Cl' H V 1 1.10 ES, KI'C. 'IIJ

(/, TT-f-i, ar-i-i', 3K-f-/) sur rime, (tt — /, in — i,

Si: — /, 4^ — 0 sur l’autre. Les (jiialre parties de l’hypiT-

,1 . , /7r3jr5n-'?n\

Dole maxitna ont pour paramétrés -, — , — , - — )•

On peut aussi prendre toutes les valeurs du paramètre entre — ar et atr, en conservant les valeurs précédemment assignées aux parties d’hypcrlioles situées au-dessus de l’axe des x, et retranchant des valeurs assignées à celles situées au-dessous. Lors du premier mode, les points de l’axe des x qui sont à gauche de ('/ ont la valeur unique !S = ar, ceux qui sont à droite admetlenl une double valeur, îT et 3~ entre C' et C, o et 4tt au delà de (i. Lors du second mode, les points du même axe des ,r situés à droite de C ont la valeur unique ^ = ceux situés # gauche admettent une double valeur, -t- r et — r entre C et C', atr et — 277 en deçà de C. Suivant les cas, on devra employer l’un ou l’autre de ces deux modes.

Par exemple, si l’on considère, sur une même Icmniscate, simple ou fléchie, deux ]>oints M et .Vl'situés, l’un au-dessus, l’autre au-dessous de l’axe CC', et (|u'il s’agisse de faire en une seule fois la sommation de certains éléments répartis sur l’un des deux arcs M.M' : on fera croître la coordonnée ^ d’une manière continue, de .M en .M' pour l’arc MA'iM' qui couj)c la partie négative de l’axe des x, de M' en M pour l’arc M' AM qui coupe la jiarlie positive du même axe; ce qui exige que ^ ail ses valeurs comprises, entre zrro et 4tt dans le premier cas, entre — 2 t: et 2 ~ dans le second.