DEVONS

somme

dj, Il i'

et, d’après (5), les deux autres.parties, complétant le produit total, donneraient, réunies et sommées, la même quantité avec un signe contraire, )

Maintenant, pour que le second système, celui des li'(b'), soit orthogonal, il faut que

S du’ du'

(tf, a üj

on, d'après les relations (6), que

S du du dfi daj

C’est-à-dire qu’il faut, et qu’il suffit, que le premier système, celui des u (h), soit lui-mème orthogonal.

Ainsi tout système orthogonal, auquel on appliquera la ' transformation par rayons vecteurs réciprcMjues, donnera un .second système pareillement orthogonal. Et, dans cette transfoi'mation générale, chaque surface p,-, chaque an- s, ou chaque ligne de courbure, du premier système, donnera une surface p,-, un arc j. ou une ligne de courbure, du second.

D’après la marche suivie pour l’ohtcnir, il est évident que la relation (6) s’étend aux cas où les indices i et / sont égaux. Si donc on désigne par h\ les paramètres diflerentiels du premier ordre des p,, dans le système u! (b'), la relation (6), rapprochée de la formule (i) donnera

Si o' représente le pi'oduit des trois h \ , cunime ct celui

Sun. LES COORDOMNÉES CURVILIGNES, ETC.-

des trois A,, on aura

Puis, en accentuant le symbole Ai pour désigner les para mètres difTérenticls du second ordre dans le système (b'), la formule (39) du §X 1 V donnera

, , P i c* ^Pi ^ ^ ^ 3

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