II) R

l'équation (10) prendra la forme suivante :

a’, F ^ X a dpi

c* a' émié d p,

24a LEÇONS

Maintenant, si l'on désigne par f le quotient de la fonction F par -^5 ou si l’on pose

l'équation (la), multipliée par c, se transforme ainsi

d i ^ dfv'A

A, f ^ * O rfp,

C* Cl' . .i* (i pf

et il s’agit de développer le second membre.

Remplaçant, momentanément, — par p, et p, par a,

on a

U d( J A I el l f rfi

A da , doL du

et, quand on dilTérentie de nouveau cette expression par rapport à «, il arrive, dans le.second membre, que la diflé-

rentiation du facteur appartenant au premier terme, X’

est détruite par celle du facteur. f, appartenant au second ; circonstance importante, d’où résulte

Restituant, dans ce développement, à pela leurs valeurs, faisant la sommation enfin ayant égard aux expressions générales des A, et des (A,)’ tlu ^ XIV, on met l’équa-

lion (i4) sous la forme

c rj y> w y A.

Or, la parenthèse du second membre est nulle d’clle-mème, d’après la nature de la fonction X, car on a

’ du ’ du’ ’

A,X = 3(A,À)’= laX.

Le second membre de l’équation (i5) se réduit donc à son premier terme-, remplaçant, au premier membre fy^ par cF (i3), au second yT par R (i i), et rappelant que

d’après les valeurs (7), on a simplement

où, d'après la relation posée (i3), la fonction f est liée à F par la proportion •

L’interprétalion de ce résultat exige quelques réflexions. Au point de vue purement analytique, F et f ne sont que deux fonctions des trois mêmes variables p,- ; mais, en les considérant comme des fonctions-de-point, ou comme assignant à chacpie pointla valeur d’une certaine quantité (§1), elles ont des origines essentiellement différentes. La première, F, a été introduite dans le système u' (b') 5 si donc

a.|4 LEÇONS

on (lonno ilos valeurs |iarlirulières aux p,, dans son expression à l’aide (le res variables, le nombre resnilant assignera la (juantité F eorrespondante au point M', dont les coordonnées II' se d<iduirai(ml de la substitution de ces mêmes valeurs particulières dans les relations (b').

La seconde, f, devient une fonrtion-de-poinl, néressairement exprimée dans le système ii (b), quand on remplace, lors de la formation de l'équation (i5),

par

AJ

D'ailleurs, dans le second membre de cette équation (iT»), l’association des fonctions' f et X entraîne ruuilé de leur système, et X appartient essentiellement au primitif. Si donc on donne des valeurs particulières aux p,, dans l'expression de f à l’aide de ces variables, le nombre résultant assignera la quantité f correspondante au point M, dont les coordonnées U se déduiraient de la substitution d(‘ ces mêmes valeurs particulières dans les relations (b).

En un mot, considérées comme des fonctions-de-point, f appartient au système primitif, F au système transformé. Ainsi, de même que les équations originelles (b') donnent les coordonnées de M', à l’aide de celles de M, de même les é>quations (inalcs, (i3) et (i6), donnent Certaines quantités appartenant au point M', à l’aide d’autres quantités appartenant au )K)int !\1.

On conçoit, d’ailleurs, (jue toute fonction .7 des.p, pourrait être exprimée de deux manières différentes ; i" pâlies (/, en éliminant les paramètres à l'aide des liquations (b'), première expression d'où l’on déduirait

■À° pat les «, en éliminant les paramètres h l'aide des équa--

SI' H LES tOORDONM^.KS CliRV IL1(;^ KS, ETC.

lions (11), st'fonile expression d’où l’on déduirait

Si l'on suppose que ees deux modes soient respectivement appliqués aux deux membres de l’équation (i6), elle tlevicndra

(i 6 bis)

S ' d'F tlu''

du' '

en remplaçant f par sa valeui- (17). Or les u' sont donnés en fonctions des u par les relations posées (b'|; on peut donc vérifier l’équation (16 his), eu se servant des proettlés du calcul diiréreuliel, relatifs au cliangcment des variables indépendantes. Cette vérification bannit tout doute, et sa longueur inévitable fait ressortir tout l’avanlage de la méthode précédente, fondée sur l’emploi des eoOrdonnét*s curvilignes.

§ CXXXfll.

APPLIGMION AUX TE.MPÉRATUUHS SIWTIONNAIRKS.

L'importance de la formule (16) ne le cède pas .à sa simplicité. Pour faire comprendre, par un exemple, quelle est son utilité générale, prenons un des problèmes principaux de la théorie analytique de la chaleur; celui qui consiste à déterminer la température stationnaire, V, des points d’une enveloppe solide homogène, dont les deux parois sontTsouniiscs à des températures fixes et connues, dilTércntcs d’un |K>int à un autre de ces parois.

Supposons que ce problème d’intégration ait été résolu pour une première enveloppe, dont les parois sontdeux surfaces P du système orthogonal défini par les valeurs u (b) ; nous allons montrer, (|u'il résulte de la formule (16) que le même problème se trouvera résolu, pt»ur une seconde enve-

346 LEÇONS

loppc, dont les parois seraient deux des surfaces p, appartenant au système défini par les valeurs u' (b').

En effet, dans le cas de la première enveloppe, on avait à déterminer une fonction V, exprimée dans le système u (b), vérifiant l’équation

et qui, pour les valeurs p = a, p = ^, correspondantes aux deux parois, reproduisit leurs températures fixes, données par les équations, dites à la surface

^ ( '’p — fp(P' > P>) >

et tel est le problème d'analyse que nous supposons résolu.

Dans le cas de la seconde enveloppe, il faut déterminer une fonction V', exprimée dans le système «' (b'), vérifiant l’équation

et qui, pour les valeurs p = a, p = |3, correspondantes aux deux nouvelles parois (lesquelles sont les transformées par rayons vecteurs réciproques des anciennes), reproduise leurs températures fixes, données parles équations

'( v;,=f>(PM p.)-

Pour résoudr»! ce nouveau problème, posons

relation dans laquelle R = \/S ir est exprimé en p, à

SUR LES COOKDÜMKÉES CURVlLlG^ES, ETC.

l’aille des valeurs u (b) ; on aura, d’après la formule (i6),

la fonction W étant exprimée, comme R, dans le système primitif u (b) ; et puisque le premier membre de ( 23 ) doit être nul, d’après (20), il faudra que la fonction W vérifie l’équation

ct’que, pour les valeurs p = a, p =i3, correspondantes aux parois, redevenues les anciennes, elle donne

gFp(P') P»)

valeurs qui se déduisent des équations (21), d’après la relation ( 22) ; , désignant ce que devient la fonction R

des Pi, quand on y fait p = a, p = |3.

Actuellement, le problème de la détermination de W est le même que celui dont, par hypothèse, on possède la solution. On aura donc W en substituant, dans l’expression trouvée pour V,

cF,(p., p.) .

pO-

Et, la fonction W étant connue, la relation (22) donnera V'.

LEÇON