CXXXIV

RELATION DES Sf)LUT10NS.

En résumé, les fonctions-de-point W et V', qui expriment • les températures stationnaires, la première dans l’enveloppe primitive, la seconde dans l’enveloppe résultant de la transformation par rayons vecteurs réciproques, sont liées, pour deux points correspondants (M, M'), par la proportion

Si les parois de la seconde enveloppe sont les transformées des parois de la première, et Si les températures fixes et ' données, de part et d’autre, sur ces parois, sont liées par la même proportion (2^); ce qu’expriment les substitutions (26). (Il importe de remarquer que, dans cette correspondance, la paroi extérieure de la première envelopjn: a pour transformée la paroi intérieure de la seconde, et • réciproquement; ce qui résulte évidemment de la relation RR'=c’, base de la transformation.)

On voit clairement, par le résumé qui précède, comment la solution du second problème se trouve ramenée à celle du premier. Ainsi, lorsqu’on sera parvenu à résoudre le problème général, énoncé au § CXXXIII, pour une enveloppe solide, limitée par deux surfaces, appartenant à l’une des trois familles conjuguées d'un système orthogonal nouveau; on aura immédiatement la solution du même problème, jK)ur une infinité d’autres enveloppes, résultant de la première, transformée par rayons vecteurs réciproques ; soit en plaçant successivement l’origine O dans tontes Iw positions admissibles; soit en donnant à la longueur constante c toutes les grandeurs finies.

Quand on considère le très-|ictii nombre de corps que l'on savait traiter, >1 y a peu d'années, dans la théorie ana-

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si’ii LES coonnoNWÉES clevilignes, etc. a49 lytique de la chaleur, on est émerveillé de la puissance de généralisation du nouvel instrument, que nous venons d’indiquer. Gloire en soit rendue aux géomètres qui l’ont inauguré et cultivé. On peut voir d’autres détails relatifs à son emploi, dans plusieurs travaux importants de M. Thomson, et de M. Liouville, surtout dans les mémorables Lettres de ce dernier à M. Blanchet.

§ cxxxv.

TRANSFOR.MATION CYLINDRIQUE .

On arrive à des conséquences non moins remarquables que les précédentes, lorsqu’on applique à des systèmes orthogonaux de courbes planes, ou aux cylindres qui ont ces courbes pour bases, un autre mode de transformation par rayons vecteurs réciproques. Dans ce second mode, le rayon vecteur d’un point M est sa distance .à une droite constante, et non à un point fixe comme dans le premier. On peut indiquer la dilférence de ces deux transformations, en appelant l’une conique, et l'autre cylindrique. La distinction est analogue à celle qui se présente en mécanique, ipiand on considère le moment d’une force, soit par rapjK)rt à un point, soit par rapport à une droite.

Tout système de courbes planes orthogonales peut être représenté par des équations de la forme

dans lesquelles a et p sont les paramètres des deux faiiiillcs, et qui vérifient la relation

, . fl.T dx dy dy

exprimant rorihogunalité. Les paramètres difrérciitiels du premier ordre h et /i, de a cl (5, sont donnés j)ar les

LEÇO^S

formules

Le paramètre difTérentiel du second ordre d’une fonction quelconque de (a, P), et qui est indépendante de la coordonnée rectiligne z, a pour expression

' aL—

"a, rfa . Trfp

puisque le paramètre différentiel du premier ordre A, de z est égal à l’unité.

Dans la transformation dont il s'agit, désignant encore par R et R' les nouveaux rayons vecteurs, de même direction, des deux points M et M', on établit entre eux la relation constante

(3a) RR' = c’,

et (x, y] étant les coordonnées de M, (x', y'J celles de M', on a

i R’ = xS R'" = x'’ -+-y’,

ce qui donne, pour les formules de la transformation.

Après la substitution des valeurs (a8), les relations (34) représentent, en (a, P), le système des courbes transfor-

mées. Eu suivant absolument la même marche qu’au § CXXXI, on constate : i" que les fonctions (a/, y') vérifient la relation

dx' dx' dy dy

Tl d^^ dZ d^

ce qui démontre l’orthogonalité des nouvelles courbes; a° que les paramètres différentiels du premier ordre, //, A', , du second système (34), sont liés à ceux, A, A,, du premier (28), par les proportions