IDENTITÉ DES S0LUTK1NS

Mais, il y a plus : si l’on a résolu, sur une enveloppe cylindrique indéfinie, formée par le premier, système, les problèmes généraux de notre XI' leçon, les mêmes formules résoudront les mêmes problèmes, sur l’enveloppé rorrespondante formée par le second système. Et pela, sans aucune modification, ni dans les paramètres thermométriques employés, ni dans leurs limites, ni dans les fonctions soumises aux intégrations définies : Si les parois cylindriques dé la seconde enveloppe sont les transformées des parois de la première, et Si chaque température, fixe et donnée, est la même pour deux génératrices réciproques l’une de l’autre.

Ce qui résulte, évidemment, de ce que la température stationnaire, V, exprimée en (a, (B), aura, comme la fonction .T (38), son A', nul en même temps que son A, ; et de ce que les équations à la surfaep seront identiquement les mêmes dans les deux cas, puisque deux génératrices, réciproques l’uiie de l’autre, ont les mêmes coordonnées curvilignes («, (3).

Il importe encore de remarquer ici, que la paroi intérieure du système primitif, correspond à la paroi extérieure

LECOHS

da d^ dx' dy' ' •

dy' dx ' ’

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du système Iraiisrurnié , et réciproquement. S'il n'existe qu’uuc seule paroi cylindriqüc dans le premier système, il n’en existera qu’une dans le second; mais alors, l’unique formule, qui donnera les températures stationnaires des points intérieurs au premier cylindre, donnera au contraire celles des points extérieurs au second cylindre. C’està-dire qu’elle résoudra le problème posé, pour une colonne prismatique solide , dans le premier cas, et {x>ur un canal cylindrique traversant une ma.sse solide indéfinie, dans le second; ou, inversement.

Rn ré.sumé, les transformations, conique et cylindrique, par rayons vecteurs réciproques, donneront ^e infinité de systèmes orthogonaux secondaires, pour lesquels le problème de l’étjuilibrc des températures se trouvera résolu, s’il l’est pour le système primitif, qui leur transmettra sa solution. Là, cette transmission est essentielle et générale, tandis qu’elle ne se présente qu’cxccptibnnellemcnt, dans les systèmes obtenus par des transformations d’une autre nature.

Par exemple, si les trajectoires, ([ui servent de bases aux cylindres isothermes des leçons précédentes, tournent autour d’un axe situé dans leur plan , il en résulte une famille de plans méridiens, et deux familles orthogonales de surfaces de révolution. De cette manière, le svstème des coordonnées polaires conduit à celui des coordonnées sphériques; les courbes homofocales du § CVIII, engendrent les systèmes des ellipsoïdes planétaires et ovaires ; et ces systèmes transformés sont triplement isothermes, comme les

* primitifs. Mais, pour tout autre cas, les plans méridiens sont seuls isothermes.

Ainsi, le système bi-circulairc, donnera une famille de

• . tores, et une famille de sphères ayant un cercle commun,

s’il tourne' autourdc son axe r.idical; il engendrera une autre

LEÇONS

faïuillc de tores se pénétrant suivant deu\ mêmes ombilics, et une famille de sphères excentriques isolées, s’il tourne autour de son axe central -, mais, dans ces systèmes transformés, les surfaces de révolution ne seront pas isothermes. Et il en sera de même des tores, à section méridienne ovoïde, engendrés par la rotation des lemniscates. Forcés de nous limiter, nous avons supprimé l’étude de ces systèmes, inabordables pour les températures, bien qu’elle conduisit à des propriétés géométriques importantes, et qu’elle pût même venir en aide, pour une autre branche de la physique mathématique.