DE L ellipsoïde D’ELASTICITE

Le tableau II définit les cosinus (w,, t;,, />,) des angles que de nouveaux axes rectilignes z') font avec les

anciens, et les composantes (iV, , 1’',) des forces élastiques exercées sur les éléments-plans perpendiculaires aux nouvelles coordonnées. Le tableau III donne les valeurs des (N', , T,), en fonction des (N,, T,) et des cosinus (m., p,);

l'est, ici, l’un quelcom|ue des trois indices (i, 2 , 3), /et A sont les deux autres. Ces valeurs se déduisent du groupe I, seconde case, ou du premier théorème énoncé. Elles établissent les propositions suivantes.

Si, sur la direction de la force élastique E, qui sollicite en M chaque élément- plan, on prend une longueur proportionnelle à E, les extrémités de toutes les lignes ainsi prises, sont situées sur la surface d'un ellipsoïde f, dont le centre est eu M . Soit (fésignée; par T, une surface du second ordre, concentri(|ue à rdlipsoide piécédent, ayant .ses axes dans

a6'i LEçons

les mêmes directions, et de grandeurs proportionnelles aux racines carrées de ceux de pour connaître l’élémentplan O, sur lequel s’exerce la force élastique représentée par un diamètre D de l’ellipsoïde i’, il suffira de mener un plan tangent à la surface 7 au point où D la rencontre, et ts sera parallèle à ce plan tangent.

Lorsque les forces élastiques, qui s’exercent en M, sont toutes, ou des tractions, ou des pressions, la surface a est un second ellipsoïde. Lorsque ces forces élastiques sont, des tractions pour une partie des éléments-plans passant en M, des pressions pour les autres, la surface a se compose de deux hypcrboloïdes conjugués, l’un à une nappe, l’autre ■à deux nappes, ayant un même cône assymptote; alors, les diamètres de l’ellipsoïde i', qui sont couchés sur ce cône, représentent des forces tangenlielles ou de glissement.

De ces propositions résulte le corollaire suivant : En chaque point IM d’un solide homogène, en équilibre d’élasticité, il existe toujours trois éléments-plans, perpendiculaires entre eux, qui sont sollicités normalement, ou pour lesquels les composantes tangentielles sont nulles. Les forces élastiques norinalQs à ces éléments, déterminent les axes de l’ellipsoïde i', et sont appelées principales . Le tableau IV reproduit l’équation du 3 ' degré, qui donne, par ses racines A, les forces élastiques principales en M, quand les six fonctioiis-<le-point (]N„ T,) sont connues. Suivant que les trois racines ont toutes le même signe (-t- pour les tractions, — pour les pressions), ou ont des signes contraires, la surface 7 est un ellipsoïde, ou le couple de deux hyperboloïdes conjugués. Lorsque les trois forces élastic|ues principales en M sont numériquement évaluées, on obtient facilement les. équations dv!s éléments-plans qu’elles sollicitent.

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