ÉQUATIONS GÉNÉRALES TRANSFORMÉES

Par la somme des six expressions (8) et (lo), substituée à celle de ses trois premiers termes, et par les valeurs (3) introduites dans la parenthèse qui multiplie J, l’équation- (a), où l’on pourra mettre les ^ en facteurs communs, prendra la forme

rfp,

dz

dans laquelle les coefficients P,, ou les parenthèses qu’ils remplacent, ne conservent aucune trace des coordonnées rectilignes. On peut conclure de là (ce qui est d'ailleurs évident, d’après la marche suivie, et les formules employées) que, si l’on transforme successivement, et de la même manière, la seconde, puis la troisième, des équations générales I, feuille C, première case, on obtiendra les deux équations

(i 1 bisy

pÿ+p,ÿ+p.ÿ=„,

dy dy dy

pÿ+P,ÿ + p.ÿ.'=o,

dz dz dz

où les parenthèses P; seront identiquement les mêmes que dans la première (i i).

Si l'on ajoute les équations (ii) et (ii bis), respectivement multipliées par les dérivées qui y multiplient, soit P, soit P,, soit P,, les relations fondamentales (4) isoleroiitsuccessivementces trois parenthèses, lesquelles devront êtrenulles. Ce <|u’indiquait d’ailleurs la seule équation (ii), par suite de l’indétermination complète de toute coordonnée

Sun LES COOnnONNÉES clmivilignes, etc.

rectiligne x. Ou aura donc dé(initivemenl

Et telles seront les écpiations cherchées.

La réunion des seuls termes contenant le facteur^*

dx

dans les expressions ( 8 ), (lo), et les valeurs (,î), donne, pour la première (12),

h, h. A, f/A, A, dh-,

r/p, rfp,

OU bien, en développant les dérivées, et multipliant par /i,

/ A, Ah '"a, AhA . / A, Ah h, rfAA .

\ ^ A rfp, A, rfp, ) ' \ A rfp, A, rfp, / '

Enfin, introduisant, comme au § XLVI, les arcs et les courbures, •

1 A, Ahy

272 I.KÇONS

un obtient la première du groupe suivant :

dA dp, dP, 1'

dr )

di^, dA, dp 1'

dP, dP dA. /„

dT ^ dT ^ ^ \ ’

Aj — A Aj — A| / 2 - 4 - I \

les deux autres traduisant, de la même maniéi'e, la seconde, et la troisième (12).

§ CXLVllI.

SURFACES ISOSTATIOÜES.

Mises sous eetle forme (i 5 ), en quelque sorte géométrique, les équations de l’élasticité d’un solide homogène, et quelconque, conduisent à des lois trèt générales, et d'une grande simplicité, que l’analyse eût difficilement découvertes, en continuant à n’employer que les coordonnées rectilignes. Coiksidérons le cas de réquilibi*e. En chaque point du solide il existe toujours trois éléments-plans rectangulaires, que les forces élastiques sollicitent normalement, et qui jouissent seuls de cette propriété, si l’ellipsoïde d’élasticité a scs trois axes inégaux.

Supposons qu’il en soit ainsi dans toute l'étendue du eorps, et qu'en passant d’un point à un autre très-voisin.

3LR LES COORDONNÉES CURVILIGNES, ETC. ay.l

l’ellipsoïde d’élasticité, toujours à trois axes inégaux, n’éprouve que de légères variations dans les grandeurs et les directions de ses axes; écartant ainsi les cas dans lesquels cet ellipsoïde serait de révolution, et ceux où il éprouverait des changements discontinus, c’est-à-dire brusques et considérables.

Alors, si, partant d un point du solide, on passe, sur un des éléments-plans principaux qui s’y trouvent pressés ou tirés normalement, à tout autre point infiniment voisin du premier ; que de ce nouveau point on se dirige vers un troisième, situé sur le plan principal, primitif mais légèrement dévié, qui correspond au second point, et ainsi de suite ; on peut tracer de cette manière une surface continue divisant le corps en deux parties, qui n’exercent l’une sur l’autre que des pressions ou des tractions normales.

De là résulte que, si l’on considère à la fois tous les éléments-plans sollicités normalement, qui correspondent à tous les points du solide, et dont les positions varient d’une manière continue; tous ces triples-éléments forment trois familles de surfaces orthogonales, que j’ai appelées ùostatiques, et qui jouissent de la propriété d’ôtre seules sollicitées normalement par les forces élastiques.

On conçoit que tout système orthogonal, quel qu’il soit puisse devenir occasionnellement isostatique, quand celles de ses surfaces qui forment les parois du solide sont soumises à des efforts normaux; et qu’il suffit, pour cela, que les signes et les intensités des efibrts extérieurs varient suivant une loi convenable, d'un point à l’autre de ces parois. La propriété d’être isostatiijne, est donc d’une tout autre nature que la propriété d’être isotherme, qui n’appartient qu’à certaines familles de surfaces. Mais la véritable propriété fondamentale de tout système isostatique est la réunion indispensable de trois familles de surfaces, et leur orthogonalité nécessaire. C’est de cette propriété, si nette-

ay4 i.Kçows

nifiit caruciérisoc, (ju’esl venue l’idée des coordonnées curvilignes.