CXLIX

LÜl D UN SVSTfcME ISOSTATIQUE.

Lorsqu’un système isoslatique e\isle dans un corps solide liomogène en équilibre d’élasticité, si l’on prend pour coordonnées <mrv ilignes p,, les paramètres des trois familles de surfaces ([ui le constituent, les eom|H>saiites tangentielles G, sont nullcs partout. Les composantes normales A, existent seules; devenues les forces élastiques principales, elles donnent, en chaque ]>oint, les directions et les grandeurs des axes de rdlipsoïdc d’clastieité-, et les équations générales (i5), simplifiées, expriment la loi de leurs variations suivant les normales aux surfaces conjuguées.

. Les équations (i5) étant linéaires, on peut faire abstraction des F,, quand on n’étudie que les cfl'ets uniquement dus aux efforts exercés sur la surface du corps. De plus, puisqu’il s’agit d'un état d’équilibre, les dérivées des If,- par rapport au temps n’exislcnt pas. F,n les annulant, ainsi que les G,, et supprimant les F,, on réduit le groupe (i5) au suivant :

Les forces élastiques principales A,, étant dirigées suivant les tangentes aux arcs, ou aux lignes de courbure 5,, le.s trois équations (i6) expriment cette unique loi : Dans tout système effectivement isostatique, chacune des trois forces élastiques principales éprouve, suivant sa direction meme.

Sun I.ES COOnDONNÉES CinVILlGîiES, ETC. a"5

une Variation qui est égale à la somme de ses excès sur les deux autres, respectivement multipliés par les courbures correspondantes de la surface quelle sollicite.

Donc, lorsqu’on se propose de rendre cffeciivement isostatique, un système orthogonal, connu dans toutes ses parties, il suffit de se donner les intensités des trois forces élastiques principales, en un seul jxtint M; car la loi (i6) en déduira celles des six points voisins, situés de part et d’autre sur les arcs rfs, -, et, de proche en proche, celles de tous les points du solide.

En résumé, la loi, tradtiitc si simplement par l’ellipsoïde d'élasticité, donne les forces élastiques exercées en un seul point, à l'aide de trois d'entre elles; puis la loi, non moins simple,, qu’expriment les équations (i6), donne les forces élastiques exercées en tous les autres points. Cette dernière loi était donc nécessaire; car, sans elle, le phénomène de l’équilibre d’élasticité restait incomplètement défini.

Pour qu’un système orthogonal quelconque soit isostatique, il faut, et il suffit, que chacune de ses surfaces soit sollicitée normalement par la force élastique correspondante, qui peut avoir des intensités très-différentes, aux différents points de cette surface; les trois familles conjuguées sont alors analogues à celles des surfaces de niveau, dans la théorie du potentiel. Pour que les surfaces d'une même famille fussent en même temps isodynamiques, c’est-, à-dire telles, que la force normale sollicitante pût avoir la même intensité sur chaque surface, il faudrait que le système orthogonal vérifi.ît certaines conditions géométriques, et il ne serait plus quelconque. De là résulte une nouvelle classe de surfaces, qui comprend évidemment la famille des sphères concentriques. On reconnaît, à l’aide des équations (i6), que les familles des ellipsoïdes planétaires et ovaires en font aussi partie.

Ainsi, lorsqu’une enveloppe solide contient un fluide à

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haute pression, et supporte extérieurement )a pression atmosphéri(jue, si les deux parois sont des ellipsoïdes de révolution homofocaux, tous les ellipsoïdes intérieurs de la inêmc famille sont, à la fois, isostatiques et isodynamiques. Chacun d’eux est sollicité normalement par une pression constante; la seconde force élastique, prineipale, dirigée tangenticllement à l’ellipse méridienne, est une traction, pareillement constante; mais la troisième, qui est perpendiculaire au méridien, change de grandeur avec la latitude, et même de signe si l’ellipsoïde est planétaire : alors, vers les pôles c’est une traction, dont le maximum est égal à la tension même de l’arc elliptique; pour une latitude moyenne, cette force est nulle, puis elle devient une pression; de telle sorte qu’une fissure méridienne, s’ouvrirait au pôle, et se resserrerait à l’équateur. II suffit d’énoncer ces l'ésultats, dont la vérification est facile, pour faire comprendre l'imporiance des é-quations (i6).

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SUR LES COOnnONNÉES CVR V ILlOiXES, ETC.