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CAS DK 1,’KI.ASTICITK CO.NSTANTK.

Los é<iualioiis génér.iles de la leçon précédenle soin ajiplicablesà tout corps solide homogène, de quelque m.inière que l’claslicité varie d’une direction à une autre autour d’un même point. Il s’agit, dans la leçon actuelle, d’établir, en coordonnées curvilignes, les équations particulières relatives au cas où l'élasticité se manifeste constamment de la même manière, dans toute direction, ou quelle que soit l’orientation du corps. I.es (A,-, C,) doivent alors s’exprimer à l'aide des deux constantes (X, fi) de la feuille 6’, et des dérivées en p, des R,. On obtient ces expressions ainsi tju’il suit.

Considérons les normales aux trois surfaces conjuuées p, qui se coupent en M, comme formant- un .système 'axes rectilignes des (a/, j/, z') sur lesquels le déplacement de M ait pour projertions (ii', v^, tt^), les cosinus des angles que ces nouvelles projections font avec les anciennes

(«, i', iv), ou que les nouveaux axes font avec les anciens, étant indiqués par le tableau

Alors, les (A,-, G,) ne sont autres que les composantes des forces élastiques qui s’exercent sur trois éléments-plans, respectivement per()endiculaires aux coordonnées rectilignes (x',y, s'), et conformément aux formules des deux j)remières cases VI, feuille C, on aura

du' dv' du-'

dr' (/>-' dz’ ’

. ■ du'

' dx

, . dv'

du''

Aw — 2tA ■ ï f7Z

, . rfi'' rffv'X

/ f/tv' rf«' \ ,

> i d"' dv'\

1) un .autre côté, les axes des (.c', y', z') st; confondant avec les normales aux surfaces p, qui passent en M, les

SI n i,F.s coonnoMMÊKs cun\ ilignf.s, ktc. 2^9 («', w') n’y seront autres que les R.-, et les cosinus

(/M,, n., p,) auront les valeurs correspondantes, inscrites au nouveau tableau

Cela pose, une fonction-de-point exprimée en (x, y, z), peut l’être successivement en *'), et en (f>, p,, p,}.

A la première transformation correspond, d’après le tableau (i), la nouyelle dérivée

(i.i (i.i fi.i dfi

1^’ = 7ü"'-^hP'‘^1TzP'

qui devient, en substituant à (w, n, p) les valeurs prises au tableau (3),

t ^ rfp ^ ,lp\

dr' h \ dx dx dr dy dz dz J '

1 (lù h (tr

1 dii

Tl Th

1 f/p h dz

1 »/p, /»! dx

Â; dy

1 dp, h, dz

1 dp,

J, lu

1 f/s, A, dy

1 ilj^ A, dz

Il V (P

ou bien, par suite de la seconde transformation, et d’après le théorème du § VllI, la première du groupe

‘ dj’

df,

dS , d.-i

aSo LEÇOHS

que l’on complète aisément. Ces formules (4) résultent, d’ailleurs, de ce que, au point M, les (rfo/, dy , dz!) sont respectivement égaux aux (c£t, ds^, ds,).