CLI
TRANSFOR.M.MION DES FORCES F.LASTIQUES.
Le tableau (i) donne les relations
1 u' = mu + v' = m,K -h
«/ = nij M 4- /7j t» <v;
d’où l’on peut déduire les dérivées qui composent les valeurs (a), mais en observant que, lors de ces dérivations, les (m,, n,, p,) doivent rester essentiellement constants. En se servant du lemme (4), et en substituant, après les difl'érentiatioDS, aux (m., n,, p,), les valeurs prises dans le tableau (3), les relations (5) conduisent aux valeurs
qu’il faut exprimer maintenant en fonction des R, et de leurs dérivées en p,-.
Le tableau (3) donne
dv
il +
du»
dp
dx
dp
dp
dz
] dv'
du
di>
dùi
dw
dp.
dp.
dx
dp.
dy
dp,
dz ’
du
di
dw
dp.
dp,
dp.
dy
dp.
dz ’
df, (I.
1 dt> d. j dy do (
dz df I
— ^ h dy
R f/p /i dz
/(, dx'
Ri do, h, dy
JL’ ’lll
/;, itx ' R, do.
R, dp, R, f/or
A, dz A, eJz
Sün LES COORDONNÉES Cl'RVILIGNES, ETC. 281
De ces valeurs, on doit prendre les dérivées en p, et en faire la somme, après les avoir respectivement multipliées par
( ^» ^ V afin d’obtenir —, (6). Dans le cours de cette
dx dy di j dif ' '
opération, qu’indiquent les facteurs symboliques en rcganl ^ des (7), on fait usage du théorème (9) § VDI, des relations ( 4 ) § VI, et des valeurs
h df' h rfp,’
déduites des formules du § XI; ce qui donne pour résultat
dit’ ,, h „ dh ht dh h, dh
dx dp dp h dp, n a p.
Et, par la réduction des deux premiers termes, puis par l’introduction des ds^ et des rayons de courbure, on a la première des doubles- valeurs qui suivent
dx
dx.
si / = O , si i =z \ , si 1 = 2,
du r ‘^8- H R R| Rj
dx' dp ' h dpt ' h d p, ds r, r, ’
— R dht h dht ^/R, R, R
dy' 'dp, ' h, dp^ h, dp ds, r, r' ’
da/ rfR, h dh, h, dh, rfR, R R,
dt' ’ dp, h' dp ' h, dp, ds, r" /■* ’
les deux autres résultant d’opérations semblables.
La dilatation cubique 0 (2), qui est la somme de ces va-
a8a i.EçoMS •
leurs (8), peut sc mellre ?ous la double forme
les — désignant les eourbures sphériques des surfaces p,.
Par la substitution des valeurs (8) et (9), les composantes normales A, (a), se trouveront exprimées à l’aide des fonctions-tle-point R, et de leurs dérivées en p,.
b>n se servant du Icmine (4T» observant la constance des (fn„ J),) dans les diflérentiations, et prenant, à la fin, leurs valeurs au tableau ( 3 ), on déduit des relations ( 5 ) l'expression suivante
i • i h, l du dp df dp
^ du' dv J h \dp, d.r~^ dp, dr
) dy' dx’ I h /fin 4 ^, dv dp,
\ l /(, \rfp dx dp dr
div dp dp, dz J du' dp,\ dp dz j
pour la somme 'I' de deux dérivées réciproques, qui, multipliée par la constante p, doit donner 5 , (a). On transforme chacune des parenthèses (10), en opérant sur les valeurs (7) comme on l’a fait pour obtenir la première (8); on fait encore usage du théorème (9) § Mil, des relations ( 4 ) § VI, et des formules du § XI ; on obtient pour résultat
, rfR h,
dp, Il
dh ,rfR, h rf/i,
d7,^^’‘iû^h,irp^'
Et, par le groupement deux à deux des quatre tenues, puis par l’introduction des ds, et des rayons de courbure, ou a la
si:r les coordonnées clrvilignes, etc.
troisième ties doubles-valeurs
/i. dR,A.
h, dRjA,
dK,
rfR,
/i, ds,
A, dp,
~ ds.
ds.
h rfR.A,
A, rfRA
dR
A, dp
A dp.
ds
ds^
/i, dRA
A dR.A,
rfR
dR, 1 , ___
A dp,
A, dp
ds,
ds
les deux autres résultant d’opérations semblable^/ Par la substitution de ces valeurs (ii), les composantes tangentielles, Ç, (a), sc trouveront exprimées à l’aide des fonctions-<le-poiut R, et de leurs dérivées en p,.
