LEURS DOUBLES EXPRESSIONS

En résumé, quand il s’agit d’un milieu solide, homogène et d’élasticité constante, les composantes (A,, P,) des forces élastiques qui s’exercent, en un point M, sur les plans tangents aux surfaces orthogonales p„ peuvent s’exprimer de deux manières diilérentes , à l’aide des deux constantes Ç/., p), et des projections, sur les normales aux surfaces, du déplacement très-petit de M. **

Les premières expressions sont analytiques. Elles eiu- * ploient les dérivées en p, des R,, et celles des paramètres différentiels /i,. Elles peuvent seules servir à former les équations à la surfaci?, lorsqu’on se propose d’intégrer les équations de l'élasticité pour un corps solide de forme donnée, connais.sant les efforts qui le sollicitent extérieurement , comme on le verra par l'exemple complètement traité dans les pi ocltaines leçons. (à>s expressions peuvent-se mettre sous les formes suivantes, ijui .sont symétriques, cl

faciles à relenir :

l.EeoKS

r rf R /i ' / t» 1 i> 1 T, i\ 1

rrfR,/i, I /rf/i,„. f/A, i M

rrfR.A, i/dh,, dh, , d/l, ,\\

f/R/i rfR,/i, f/R, A]

I fdra^, da ^ . da ^ , \

— ( “7" R^'' -y- Ri^i -H y- Rj/ia 1 1

cj \//p «p, fip, y

-'■yy

\ df

th, '

a est le pnxluit /j/(, /i,, et la forme intercalaire donnée à 0 reproduit facilement la première (g).

1-es secondes expressions sont géométriques. Elles emploient les variations des R, suivant les arcs ds,, et les six • courbures des surfaces conjuguées, comme les équations générales (i5) et (i6) des §§ CXLVII et CXLVIII. Elles peuvent seules servir à énoncer, d’une manière simple, les lois générales et particulières du phénomène de l’élasticité ; ce qui permettra d’introduire, dans les applications, toute la lucidité analyti(|ue, entrevue et définie au commencement de la leçon précédente, et vers laquelle les diverses branches de la physique mathématique semblent converger aujourd'hui. On ohiienl ces nomclles expressions avec les

Sl'R I.ES COORnONSÉES Ct'RVIl.IC.NES, ETC. ’ a85

secondes valeurs (8), (y) cl (i i) ; ce qui donne le nouveau 1 ,'roupe

/rfR

^ Al = -t- î.

1 ds,

Ri\

; «/R rfR,

(iK,

I (b (is,

H serait facile de résumer ces valeurs par deux énoncés, l’un pour les composantes normales, raulrc pour les composantes tangcntiellcs, en se servant des dénominations, introduites au § XXIX, de courbures conjuguées en arc, et de Courbures réciproques.