CLIII
THA.NSF0II.MAT1ÜN DKS fttjL'ATlONS.
En substituant les expressions (i a) des (A,-, t,) dans les ét|uations générales de la dernière leçon f(i3) ou (i4)’ § CXLMI, et ses homologues], on obtiendrait celles qui régissent l’élasticité constante, exprimées en coordonnées curvilignes. Mais, de longues opérations seraient ensuite nécessaires, pour disposer les «'■quations obtenues, sous une forme telle que l’on puisse aborder leur intégration. Il sera plus simple de transformer directement en coordonnées p,
a86 LEÇOHS
les équations VII île la feuille C, qui ex|>i'inicul les méini’s Itris en coordonnées rectilignes. Ces équations sont
I !d\ rfw\ .rfe /
’ /rfW i/u\ ,i/9 /„ rf=<-\ ,
d\\ ,rf9 !
— j = (> -(- Sp) - + (z. -
rfU
rf>
les fonetions-(le-point (U, V . VV ) avant pour expression
dv f/ie
^=5Sr-7?7’
dw du ^ dx dz ' du i/r ' ^Ty~Tx
Les valeurs ( j'), qui expriment les («, i’, le) par les H. peuvent se mettre sous la forme
dx dx dx
dz , do, i/o,
dy dy dy
dû do, dp,
iv = a—i- + b - + c -p- ' dz dz dz
en posant, dans un but de simplification,
d’où résulte que les eocfficieiiLs («, b, c) sont fonction des coonlonnécs p,.
Ces valeurs (i6) donnent pour VV (i5), ou |Hiur
/ du df\ ..
( da rfp dy
' / da dp
\ dp d.r
I lib dp \dp dy
I db du ' du d.r
idc dp
■^[TpTn
( de dp dp dx
da dp^ da dp,\ dp
dp, dy dp, dy J dx
I lia dp, da dp,\ dp
da, dx dp, dx J dy
db dp, ^ db dp,\ dp, da, dy do, dy j dx
db dp, db dp,'\ dp,
dp, dx dp, dx j dy
de dp, de dp,\ dp,
dp, dy dp, dy j dx
de dp, de dp,\ dp,
dp, dx dp, elx j dy
les dérivées secondes des p, disparaissant dans la diflérence dont il s’agit. Ou reconnaît aisément, à l’inspection de ce long développement, la disparition de six des dix-huit termes, et la réunion des douze autres dans les trois ]>rodiiits
(dj.
dp.
dp, dp,
\dx
dy
dy dx
dp,/
d a, do
\ tix
dy
dy dx
dp,)'
dp,
dp dp.
db\
\tu:
dy dx
/ V'fpi
~Tp ) ■
Or, parmi les relations, qui existent entre les neuf’ cosinus du tableau (1), se trouvent les trois suivantes
m,n , — n, m, — bp, m,n — n,m =: bp, , uin, — nm, =bp,,
LECOKS
X étaiil, ou — I, ou + I, tel en un mol que A’ = i. Les correspondances des tableaux (1) et ( 3 ) donnent donc
rfp, dp, dp, dp, ^ A| A, dp
dx dy dy dx h dz
dp, dp dp, dp ^h,h dp,
d.r dy dy dx ~ h, dz
dp dp, ^ ^P*
dx dy dy dx h, tlz
Ces dernières valeurs étant substituées dans l’expression (18), la fonclion-de-point W sera la dernière des trois expressions
U = - V. 4^ ni' —
dûs
do dp, ^dp,
dy dr dy
da
Ih'
dz
en posant, toujours dans un but de simplification,
l db
de
dp.
'de
da
^dp
dp.
' da
db
k dp,
dp
Les deux premières (19) résulteraient d’opérations semblables, faites en parlant successivement de U et de V (i 5 ).
On transformera, absolument de la même manière, les dillérences de dérivées réciproques, qui, multipliées par p, forment les premiers membres des équations (i4)î en parlant des valeurs (19) au lieu des (16), des cnelficients (ao)
SUR LES COOUIlü>KÉES CIRVILIGNES, ETC.
au lieu des (17); ce qui donnera
rfV
dVf
‘il
rfp,
dp,
dz
dy
dx
dx
dx
rfW
dp,
dp.
dx
dz
dy
dy ’
dp,
djr
dx
dz
dz
dz ’
les coeflScicnts ‘P,, composés en (X, Db, r) comme ces derniers le sont en (n, A, c), étant
^ .h, h, I d K!, rf r \
dr d^\
dù da-yj
dfK,
d Oy dù J
En substituant, dans ces coedirients P,, aux (.V, iib, r), leurs valeurs (20), A’, ou l’unité, deviendra facteur eonimun, et le résultat sera le même que si l’on avait supposé partout A = -(- 1 . On pourra donc, dans les calculs qui vont suivre, prendre pour les P., les valeurs (22) écrites sans le facteur A, en définissant les (tl., irt>, r), qui les composent, par les valeurs (20) pareillement écrites sans le facteur A.
hh,
