FONCTION DU PREMIER GROUPE
Ainsi le.s trois groupes, à traiter successivement, sont : i“ l'équation (8) ou (9); 2" les quatre équations (i3); 3 ” les équations (1.1) et (> 4 )- Occupons-nous du premier. L’équation aux dÜTérences partielles (9), et ses diverses intégrales sont trop connues, pour qu’il soit nécessaire d’entrer ici dans de longs développements; il suffira de définir, succinctement, les éléments qui doivent composer la fonction .T, et de préciser la forme qu’il convient de donner à son intégrale générale, dans la (|uestion actuelle.
La fonction 3 doit se comjKJscr d’une somme indéfinie de termes simples, qui vérifient séparément l’équation (9) ; chaque terme simple est le produit RQP de trois facteurs, qui ne varient chacun qu’avec l’une des coordonnées, savoir : R avec r, Q avec P avec ou a ; ce produit, substitué à -^dans l'équation {9), donne
dr‘
dr
R dr
<nx
rf’Q
Q I oc’ ~
et la vérification nécessaire de cette équation exige ; i” (jue le facteur R satisfasse à l'équation différentielle
.rfR
dr
ilo8 l.KÇONS
où n est un nomlirc eiiiicr (|iielcoii<|uc, et qui admot les deux inléi^rales particulières
îi" que le laeteur Q satisfasse .à l’équation dilVérentiellc
où / est uti nombre entier, et qui admet les devix intégrales |)arliculières
(iq)
= cos l ,
= siu ;
3" (|ue le facteur P vérifie l’équation dill’éreiilielle
ti[\ — a’ ! — ' r/a
ti a
di'iluite (le (i5) à l’aide des (i6) et (i8); / et n étant les deux nombres entiers, inirodiiits dans le terme simple par les facteurs U' et (,).
Cette équation dill'érentielle ( 20 ) est vérifiée par l’intégrale particulière
seule admissible dans la (|uestioii actuelle, qui exige en outre que l’entier / ne surpasse |>as l’entier n : car, la fonction -f ne doit pas contenir de termes à |missatices négatives de 3t, lesquels la rendraient infinie pour a = u, ou sur
Sin LES f.OORnOSNÉF.S Cl!R\ IL1^.^ES, ETC. 3o()
le plan de l’équateur qui comprend des points appartenant à l’enveloppe sphéri<|ue propoM'e; n et I étant entiers, et n — l positif, la série, qui forme la pareiitlièse (ai), se termine au terme en a', ou en x", suivant que n — / est impair ou pair.
Les deux intégrales partieulléres (i j) de H sont admissibles ; car l’enveloppe sphérique ne s’étendant, ni jusqu’au centre, ni ju.squ’à l’infini, les valeurs l’infini et zéro de r n’appartiennent à aucun de ses points. Les deux intégrales particulières (iq) de Q, qui ne deviennent infinies pour aucune valeur réelle de i, sont pareillement admissibles.
Avec les éléments ainsi définis, l'intégrale générale, de notre fonction-de-point peut se mettre sous la forme
OÙ ^ et ^ représentent, pour simplifier, les deux facteurs en
t ç = A cos /r(( -t- C sin /i}i ,
' Ç = B cos -H Dsm /i|/.
Chaque terme est particularisé parla finiction P ( 21 ), ou par le couple de valeurs des entiers / et n ; (A, 11, C, D) sont des constantes arbitraires, diflérant d’un tenue h un autre. 11 doit y avoir autant de t<-rmcs que de couples (/, n)
admissibles. Le signe ^ accuse donc une double série, il
remplace l’niie ou l’autre des deux indications
1 1> LEÇO>h
qiii < urn'S|iüii(ieiil à deux modes de grouppemeiit diirérenls.
§ CLXVI,
