KOUMES IIE I.A SÉRIE INTÉGRALE
Dans le premier mode, on réunit tous les termes de 'T (22) dans lesquels n a la même valeur, pour en former un ftroupc partiel; la série totale eomprend aulajit de groupes distincts qu’il existe de valeurs de n depuis zéro jus(|u’à l’infiui, et chaque groupe partiel autant de termes que de valeurs de l depuis zéro justju’à c’est-à-dire n -+■ i termes renfermant J\n -f- a eonslantes arbitraires.
Dans le second mode, on réunit tous les termes de (22) dans lesquels / a la même valeur, pour en former un groupe partiel ; la série totale comprend autant de groupes distincts (ju’il existe de valeurs de l depuis zéro justju’à l'inlini, et chaque groupe partiel autant de termes que de valeurs de n depuis l jusqu’à l'inlini, c’est-à-dire une infinité de termes et de constantes arbitraires.
Le premier mode de groiijiemeul rappelle les fonctions \ „ de Laplace, et est exclusivement employé dans la Mécanique céleste. En physique mathématique, et notamment dans la question qui nous occupe, il faut essentiellement adopter le second mode, quand il s’agit de déterminer isolément les constantes arbitraires. Il y a indilTérence lorsque ces constantes sont connues, et que la fonction -f (22) n’a pins rien d’indéterminé; on choisit alors le groupement de ses termes ijui convient le mieux aux conséquences qu’on en veut déduire, ou aux applications qu’on en veut faire.
§ CLXVll.
INTEtiRATlIIN DI’ SECOND GlUtl l'E.
La fonction .7 étant intégrée, passons au second grou|ic (i!i). l.cs intégrales générales des fonctions (-t-, atL, f) coni-
si:r i.es ^uORI)(l^^ÉES ci nvlI.l<;^^;s, etc. liii prciulront chacune deux parties; les prciiiièics parties, (juc l’on peut apftelcr esscnticlle.s, et que uous désigiieroii.s par r.) étant destitiées à faire disparaître, lors de la vérification, les seconds membres, maintenant supposes connus, des équations aux ditlérences partielles linéaires (i3); les secondes, ou le coinpléinent intégral, (]ue nous désignerons jtar tib', l"'), devant vérifier les mêmes
éijuations, lorsque tous les seconds membres sont iéro.
l.es (-A/, tlb', r'), devant annuler les premiers membres des trois premières (i3), ne seront autri’s que les dérivéï's d’une même fonction -.T' des variables (r, ®, t|j), on peut donc poser
tir ’
tl’^
dX
Or, ces valeurs, étant substituées dans la dernière (i3), reproduisent, en l’équation (8) ou (y); donc la seconde fonction introduite, X ^ doit être de même forme (pie ( 52 ), et on peut l’écrire ainsi
et ^ représentant, pour simplifier, les facteurs eu i|<
t Ç' = A' cos/i}> -I- C' sin /■} ,
( î'= B'ens/-} + D'sin
(A', B', C', D') étant de nouvelles constantes arbitraires, dillérant d’un terme à l’autre de la double série ( 26 ).
Avec le complément intégral (A.', rib', r'), ou peut ne prendre pour if-v, r,) que les vabfurs strictement essetitielles, et les plus sinqilcs jiossible. f)r, il se trouve que peut être nul, et que la vérification des iMptalions (i3 ) com-
l.lUHIft.s
[ on prend
les (I, étant ceux de la série ^{22). En ellét, ces valeurs donnent d’abord ^en se rappelant, ici elconstamment,
da f/9 ) *
et puisque est ici nul, la seconde et la troisième (i 3 ) sont vérifiées.
Ensuite, les facteurs ^ et ^ satisfaisant à l’équation (18), et le facteur P à l’équation (20), on a identiquement
1 — /•£ 1= nr
d-Y •’ dY ”
f/c’ -T— de' ——
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et les dérivées, en tp de tHi,, en f de 1',, pouvant alors se mettre sous la forme
f/il!', ^ I .•
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StR LES COtJRDONKÉES CIRVILIGMES, ETC.
Oïl .1, pour leur ilifTércnce
lti'« O
il (i^ 1^
P = rr“ — <
(ir
ce qui vitrifie la première (i 3 ). Enliii, la quatrième «lu même groupe, qui se réduit à
^ (le itj.
c’ «/ ij/ «/*
puisque .V. est ici nul, est évidemment vériGée par les valeurs (a8) de iii), et I’,.
En résumé, les intégrales générales des fonctions Ui>, 1') du second groupe, sont
( 29 ) • Db = «b, -H tib',
les Db,, r,) ayant les valeurs •( 28), déduites de l’an- «■ienne fonction .f (22), et les ( ^^', iib', r') les valtuirs ( 25 ), dérivées de la nouvelle fonction -f' (26).
