ISOLEMENT DES DERNIERS OJEFFICIENTS

Si l’on remplace, dans les formules (a3), f et y par les seconds membres de la troisième et de la (juatrième équation (il), puis R et C par L, et ( — on aura

r-^' /' rip /p . \ •

J J ^ cos/4< sin /i|i j

n (rt H- i) cT^^**',c.v

C; sinV-Ji 31 l, cos/'|(^ rfij*

n(« -I- 1 ) cr'y . w/

et, si l’on remplace, dans les mêmes formules, f et J\ par les seconds membres des deux dernières équations (ii), puis E et V par et L', , il viendra

/ rfP . /P \

I I ( c V- sin /Ji H F.- cos /J, I rfi (/a

J-, Jo V /

J J • — F,cos/i}< -F OILi sin /i{i j

«(n -t- l) ci)"*, ta/

Telles sont les valeurs générales, que doivent avoir les coefGcients des séries qui composent les premiers membres des deux -dernières équations (8), pour que ces premiers membres reproduisent identiquement les fonctions données OIL;, F,.

SL R LES COOROOÎi.SÉES Cl. U V I l.IL.JiES, ETC.

§ CLXXVllI.

TKRMES INDÊPENU.VNTS DE LA LO.VJITl'DE.

Toulcs les parties des doubles séries, où des développements simultanés (8), sont maintenant connues ; car, les valeurs générales (20), (28) et (29} permettent de calculer isolément chacun des coefûcients, quelqne part qu’il se trouve, quand on connaît les deux entiers / et n qui particularisent le terme multiplié par ce coefficient. Il peut être utile de signaler, particulièrement, les termes pour lesquels l’eutier l est zéro, et qui dominent, le plus souvent, dans les applications; on a alors

w* = 2?r, cr

et les expressions générales ( 20), (28) et (29) donnent

Tiiz

^ /; jf

> J-x Jo

On arrive d’une autre mauièro à ces valeurs (3i), en

LECOHS

auliulaiil l dans le i;ioupc partiel (i i) : il devient alors

yK,p=-!- / x.e/'i-,

, dp

et les coefGeients aux lettres majuscules doivent ôtre zéro, tandis que ceux aux lettres moulées s’obtiennent directement, en s’appuyant sur les théorèmes (i4) et (26).

§ CLxxix:.

COM'.I.ÜSIONS ET PKfiMSiÜNS.

Les difficultés principales étant levées, on peut regarder la question posée comme étant résolue; puisque toutes les constantes, introduites par l'intégration, peuvent se déterminer à l'aide des coefficients, maintenant connus; ainsi qu’il est dit au § CLXXII. Toutefois, plusieurs de ces constantes restent et doivent rester indéterminées, comme nous l’expliquerons dans la prochaine leçon, qui indiquera, en outre, les modifications à faire subir aux formules trouvées, lorsqu’on introduit les composantes (Rj, <bo, Ÿo) d'une ou de plusieurs forces extérieures.

La solution générale du problème de l'équilibre intérieur d’une enveloppe sphérique, soumise à des efforts qui diffèrent d’un point à l’autre de ses parois, est le premier exemple d’un corps de dimensions finies dans tous les sens, complètement traité par la théorie mathématique de l’élasticité. Si le système des coordonnées sphériques ouvre

SUR J.ES COORDOMNÉES CURVILIGKES, ETC. ’Si']

encore la marche, clans ce nouveau gemre de questions, cela tient, sans doute, à la faculté qu'il possède, de développer simultanément deux fonctions de sa coordonnée a, à l'aide des fonctions P. •

Il y a tout lieu de penser, qu’on ne réussira, dans la même voie, avec un autre système orthogonal , qu’en lui découvrant, d'abord, la faculté analogue, de développer simultanément deux ou trois fonctions, de une ou de deux de scs coordonnées. Car la simultanéité dans les développements des fonctions données, parait être nécessitée, et par la simultanéité des équations aux différences partielles à intégrer, et par la présence simultanée des fonctions intégrées dans les équations à la surface.

, Delà leçon actuelle résulte une extension de méthode, qui mérite d’ètrc signalée. Quand il s'agit de trouver la loi int^rale du refroidissement d’un corps de forme donnée-, on sait que le problème d’analyse consiste, à intégrer l'éejuation générale par une somme de termes simples, vérifiant tous séparément cette équation, satisfaisant en outre aux conditions de la surface, et qui sont multipliés par des coefficients, d’abord inconnus, ejue l’on détermine ensuite de telle sorte que la série totale reproduise l’état initial. Cette détermination s’opère invariablement de la même manière, à l’aide d'un théorème général qui permet d’isoler successivement tous les coefficii-nls de la série. Il ii’y a de particulier au corps proposé, que la forme et les propriétés des termes simples qui lui correspondent. C’est uniquement dans leur recherche que gît toute la difficulté.

Chaque terme simple résout, à lui seul, la question posée, si l’état initial, ou la fonction à introduire, lui est égale ou proportionnelle. Si la fonction donnée est une somme linéaire d’un nombre fini de termes simples, ils interviennent seuls dans la solution. Enfin, si cette fonction n’est pas ainsi réductible, tous les termes simples concourent pour

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résoudr»! le problème. En un mot, ils s’accordenl toujours pour achever le travail : là, c’est un seul ou plusieurs qui s’en chargent; ici, tous ensemble; et chacun d’cu\ trouve, ? dans son c<Tenicient, la fraction qui lui est dévolue.

Cette marche, cette réduction à une seule difliculté particulière au corps proposé, ce concours toujours efficace des termes simples, se retrouvent : dans la question de l'équilibre des températures ; dans la théorie du jmtentiel ou de l’attracl ion des sphéroïdes; dans la théorie mathématique de l'élasticité lors des vibrations, et aussi, lors de l'équilibre intérieur d’un corps solide, comme leconstate, enfin , le cas actuel des enveloppes sphériques. Ce n’est donc plus, là, une simple analogie, c’est une véi-i table loi, qui embrasse toutes les branches de la physique mathématûjuc.

Sl'K LES COORDOMNÉES Cl^nV1LI^.^•ES, ETC.