S CLXXX
KÜU.ATIONS DE CO-NDITrON.
La solution généinle, exposée dans la leçon précédente, rencontre, dès les prcniiers pas de son application, une sorte de point d'aiT-èl, une objeclioii, qui fait douter d’abord de sa réalité, mais qui, étant soigneusement analysée, conduit, au contraire, à Tune des meilleures vérifications que le géomètre puisse désirer.
Dans toutes les séries qui expriment, soit les fonctions (U, V, W), soit les composantes des forces élastiques, on peut ne considérer que les seuls termes qui dépendent d’une même fonction P, ou d’un ntème couple des entiers (/, n). A ces termes, qui contiimnent douze constantes [A<-", B<>>, C<>>, D'»j, correspondent douze coefficients (K,, 3 t,,...), que l’on déduit des expressions générales, (20) § CLXXV, (28) et (29) § CLXXVII, en y substituant le couple choisi (/, n). Avec ces coefficients, et la valeur actuelle de n, le tableau (7) § CLXXI, dans lequel on fait successivement / == r=r,, procure le moyen de déter-
miner les douze constantes, par deux groupes de quatre équations du picmicr degré, et deux antres de deux équa-
LHÇONS
lions si'ulcinoiil, <|ui clomient
\ (C", C, D", D) .'n (;K., DC„ -C,)’
I (A', B') en (i;., i;,),
(C', D') en (1^,,
Si, dans ces groupes, le nombre des constantes à évaluer esl toujours égal au nombre des équations, il n’y aura, ni indétermination pour les ineonnucs, ni relations nécessaires entre les données. C’est ce qui arrivera tant que l’entier n no sera pas l’unité; mais, pour cette valeur particulière, il y a exception.
En ell'et, on voit, à l’inspection du tableau (7) § CLXXl, que tous les premiers termes des équations à former ont pour facteur (n — i). Ces termes disparais.sent donc quand n — i. Alors les constantes (A", C", A', C') restent indéterminées, et les cüirlTicients correspondants (K,, JX',-,...), qui l omposcnl les seconds membres des douïte équations, doivent vérifier certaines relations. 11 importe de chercher ce qu’expriment ces relations nécessaires, ou ces conditions imposées aux données de la question, c’est-à-dire aux eflorts appliqués sur les parois de l’enveloppe sphérique.
Le tableau (7) ^ CLXXl, aidé des valeurs générales (6) qui le précèdent, donne pour le système des douze équations, correspondant au cas de n = i , le groupe suivant
h 1 2 „„ fie — b K,
g fi K + J B H ; — B = — ,
DO r, or;
b ti „„ O — c „ L,
loo r, ar;
nr] U
\oa r, ar; ^
Sl'R LES COORDOMtÉES CÜIIVILIGNES , ETC. 34 I
qu’il (’aul écrire ileux fois, l'une avec l’inilico / = o, l'autre avec l’indice /= i. Si l’on ajoute à la première des équations ( 2 ) le double de la seconde, à la troisième le double d<- la quatrième, on a, en remarquant (]ue les sommes de la première ligne (6) ^ CI.XXl donneni — hz=(t,
( 3aB = r’(K, -(- 2 L,),
I 3pD = r’(3f,-|-2.C,).
Dans ces é(piations (3), ainsi (]ue dans les deux dernières du groupe ( 2 ), les premiers membres ne changent pas quand on fait 1 = 0 , puis / = i, et les seconds membres doivent partager la même propriété. Ce ([ui donne
r;(K, - 1 - aL.) — /-JjK,, 4- aL.) = o, r; (3f , -H ,)-/•; ( .‘X-.-l- 2 .) = o ,
<■; lA — eiL'. = 0 ,
pour les relations qui doivent exisler entre les coefllcicnls
(K.., si « = 1.
§ CLXXXl.
(.OEFFICIKNTS CORHESl'ONDANTS.
Or, quand n est l’unilé, l'eniiei- / peut être l’unité, ou zéro. Le groupe (4) doit donc être vérifie, séparément, par les valeurs des coefficients (K,-, 3f,,...) qui appartiennent au couple (I = i, n = i), et par celles qui appartiennent au couple (/=o, /r=i). 11 faut d’abord elierclier quelles sont ces valeurs.
Au couple (/= I, « = i) correspond la fonction P=c,
34 a i.EçONS
tl’après l'cxpiTssion générale (21) § (XXV , 011 a donc
Désignons, pour simplifier, cosij/ et sin par c' cl 5', et, pour plus de symétrie, sin^ par s au lieu de a. En outre, remarquant que dtlidx, ou cd^pdf, est l’élément de surface de la sphère dont le rayon est l'unité, remplaçons, par ff, cet élément précédé du double signe de l'intégration totale, en posant
