INTRODUCTION DES FORCES EXTERIEURES

11 s’agit maintenant de reconnaître l’inlluence des forces extérieures, dont les composantes sont (R», ‘l*o , Ÿo), sur l’équilibre d’élasticité de l’enveloppe sphérique, et d’indiquer les modifications que l’introduction de ces forces apjKirtedans la solution générale. Il faut remonter jusqu’aux équations aux différences partielles, qui sont, dans le cas de l’équilihre, et en mettant a au lieu de (X -t- au.) :

■ — df

«c— -t-fx

iï\

tL dr /

f' dr

d'if dr

\ dr drf

-t- r’cR, ^ = ü ,

-h rc^tê = Oy

35o LKÇOKS

les folirtioiis (0, il!), r) s’i'xpriinani en (U, V, AV) par

les relations suivanles :

H tJr

Tl!) =

I dc\ rc do

I ld\

dc\i\

rc \rf41

dy }'

drVi

I rfU

~Tr

c dSf '

drV\

~dr J ’

valeurs (Uo, V’„,

essentielles pour faire disparaître, lors de la vérification, les termes en (Ifo, 'i'o) des équations (t5), exifje que l’on coiniaisse ces termes eux-mèmes. Lorsqu’ils sont donnés en (r, y, i^), ou cherche d’abord la’forme que doivent avoir les (U», V„, Wo) pour atteindre le but qui leur est assigné, puis on emploie la méthode des coefficients indéterminés. C’est ainsi que l’on a résolu les cas suivants ;

Premier cas. — La force extérieure a une direction et une intensité constante, telle que la pesanteur. — Dirigeant l’axe polaire du système des cordonnées sphériques parallèlement à la direction de cette force extérieure, et en sens inverse, on a

(17) R,z= — gj, ■!>. = — gc, 'f. = o;

puis, posant, pour simplifier,

loX

on trouve les expressions strictement essentielles (ig) L,= /c'j, V, =r — 3/.c=c, \V,= o;

StR I.ES COURIIONNÉES Cl' R V IHC^ ES, ETC. 35l

lcsc|iicllcs, élaiil subslilucos dans lo groupe (i 6 ), donnent

valeurs qui annulent les premiers membres des ikjualions (i5) écrits avec les ( 17 ).

Second cas. — La force extérieure e.st une attraction, dirigée vers le centre du système sphérique, et proportionnelle à la distance à ce centre. — Si l’on représente par g l'intensité de la force (toujours rapportée à l’unité de masse), pour la distance r, , on a

(ao) R„ = — <!■, = 0, T, = 0,

et l’on trouve les expressions strictement essentielles

(ai) = V, = o, W, = o,

I Ort r,

lesquelles, étant substituées dans le groupe ( 16 ), donnent . A'O r’

9 = — — 1 ,1, = O , II!, = o , r = O ; a a r,

valeurs qui vérifient les équations (t 5), écrites avec les (ao).

Troisième cas, — L’enveloppe sphérique tournant au- • tour de l’axe polaire, avec une vitesse angulaire constante w, on considère l’équilibre relatif qui résulte de rintroduction de la force centrifuge. — On a

(aa) K, = u'/r“, ■t», == — w’cci-, 't, =ro,

et, posant, pour simplifier

LEÇONS

ou trouve les expressions stricieinenl essentielles

lesquelles, étant substituées dans le groupe (16), donnent 0 = r^c\ et = o, 'iU> = o, r = o;

2fl

valeurs qui vérifient les équations (i5), écrites a\ee les (aa).